Wohldefiniert und stetig

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Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
Wohldefiniert und stetig
Meine Frage:
Es soll gezeigt werden, dass die durch gegebene Funktion für alle x (Element der reellen Zahlen) wohldefiniert und stetig ist.

Meine Ideen:
Da wir uns in dem Thema "Stetigkeit der Grenzfunktionen" befinden, vermute ich mal, dass dies etwas mit der gleichmäßigen Konvergenz zu tun hat. Jedoch weiß ich nicht, wie ich das machen soll. Könnt ihr mir helfen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Helfen dir die Stichworte Potenzreihe und Konvergenzradius schon weiter?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist mir ein Begriff. smile
Soll ich den Konvergenzradius ausrechnen? Wenn ja, was sagt mir das dann?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das solltest du mir sagen können. Was sagt der Konvergenzradius einer Potenzreihe aus bzw. was kann man über die Potenzreihe sagen, wenn man den Konvergenzradius berechnet hat?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Potenzreihe einen Konvergenzradius besitzt, ist diese Reihe in konvergent. Jedoch weiß ich nicht, ob man dann sagen kann, dass die Potenzreihe gleichmäßig konvergent ist.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die gleichmäßige Konvergenz brauchst du hier doch gar nicht. Du sollst ja nur untersuchen, ob die Funktion wohldefiniert und stetig ist.
 
 
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist jedoch, dass ich nicht weiß, wie ich die Wohldefiniertheit und Stetigkeit zeigen kann.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Was sagt der Konvergenzradius einer Potenzreihe aus bzw. was kann man über die Potenzreihe sagen, wenn man den Konvergenzradius berechnet hat?


Was für Sätze hattet ihr denn zu Potenzreihen mit positivem Konvergenzradius?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Sätze mit dem Konvergenzradius hatten wir nicht.

Außer den hier:
Ist , dann konvergiert s(x) gleichmäßig für [latex] x \in [a,b] latex].
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr habt also den Begriff des Konvergenzradius eingeführt und dann nie mehr darüber gesprochen? geschockt

Du hast ja oben bereits eine Folgerung genannt, wenn der Konvergenzradius positiv ist. Was bedeutet es, wenn der Konvergenzradius ist? Hilft das vielleicht schon bei der Frage nach der Wohldefiniertheit?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der Konvergenzradius unendlich ist, dann ist die Potenzreihe für alle x konvergent.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bring das mit der Wohldefiniertheit zusammen.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Da die Konvergenz für alle x zutrifft, ist eine Wohldefiniertheit gegeben, da die Aussage für alle x ohne Einschränkung gültig ist.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Damit ist die Funktion also schon einmal wohldefiniert. Für die Stetigkeit solltet ihr auch einen entsprechenden Satz zu Potenzreihen gehabt haben.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Zusammenhang hatten wir nur, dass wenn die Potenzreihe in einem Intervall konvergiert, dann ist sie stetig.

Im Allgemeinen hatten wir zudem noch, dass wenn die Funktionenfolge stetig ist und diese auch noch gleichmäßig komvergiert, die Grenzfunktion dann stetig ist. Aber da wir die Funktionenfolge nicht kennen, dürfte diese Aussage unnütz sein.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lynn2
In diesem Zusammenhang hatten wir nur, dass wenn die Potenzreihe in einem Intervall konvergiert, dann ist sie stetig.


Und damit ist doch alles erledigt.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Also zusammengefasst gesagt:

Ich muss schauen, ob der Konvergenzradius unendlich ist und dann kann ich das einfach alles so schlussfolgern!?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist zudem, dass ich für den Konvergenzradius nicht unendlich erhalte.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, mehr ist hier nicht zu tun. Eine Potenzreihe ist überdies nicht nur stetig sondern z.B. auch differenzierbar auf ihrem Konvergenzkreis, man könnte also auch noch mehr folgern.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lynn2
Mein Problem ist zudem, dass ich für den Konvergenzradius nicht unendlich erhalte.


Kannst du mir da helfen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann solltest du da nochmal nachrechnen, der Konvergenzradius ist nämlich unendlich. Ohne Rechnung kann man da aber nichts zu sagen.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es mit Hilfe des Wurzelkriteriums berechnet und bekomme da 0 raus.

Wo liegt mein Fehler?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommt dieser Term denn mit dem Wurzelkriterium zustande? geschockt

Wir haben die Potenzreihe , um den Konvergenzradius zu berechnen hast du jetzt mehrere Möglichkeiten:

1. Du verwendest den Satz von Cauchy-Hadamard (was ich dir hier nicht empfehlen würde)
2. Du überprüfst, ob ein existiert mit für alle und berechnest dann den Konvergenzradius über . Das geht hier auch ohne große Probleme durch.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe letzteres angewandt, jedoch habe ich Zähler und Nenner vertauscht.

Danke für deine Hilfe. smile
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