Affine Abbildungen

10.04.2014, 21:56

Simeone

Meine Frage:
Ein guten Tag. Rede hier nicht groß um den Brei, der orginale Text der Aufgabe lautet:

1) Die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

definiert eine affine Abbildung $\begin{eqnarray*} A: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2. \end{eqnarray*}$ Zeigen Sie, dass diese affine Abbildung sich aus einer Scherung, gefolgt von einer Rotation um $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ , gefolgt von einer Vergrößerung um $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und einer anschließenden Translation zusammensetzt.

[attach]33887[/attach]

2) Das Bild zeigt ein Rechteck und das Bild des Rechtecks unter einer affinen Abbildung A, im selben Koordinatensystem. Konstruieren Sie A explizit in der Form wie sie in 1) gegeben ist. Nehmen Sie dazu an, dass $\begin{eqnarray*} a' = a + v \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und dass die Strecken folgende Verhältnisse bilden $\begin{eqnarray*} \overline{a'b'}/\overline{ab} = \overline{cd}/\overline{c'd'}=1, \overline{a'd'}/\overline{ad} = \lambda \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Betrachten wir nun eine affine Abbildung $\begin{eqnarray*} A : \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n. \end{eqnarray*}$ Wir wollen zeigen, dass wir mittels einer Hilfskonstruktion h, die Abbildung A als reine Matrixmultiplikation schreiben können. Dazu betrachten wir die Hilfskonstruktion $\begin{eqnarray*} h : \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^{n+1}, (v_1, \cdots, v_n)^T \mapsto (v_1, \cdots, v_n, 1)^T \end{eqnarray*}$

c) Finden Sie eine $\begin{eqnarray*} (n+1) \times (n+1) \end{eqnarray*}$ Matrix B, s.d. für zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R^n, h(y) = B cdot h(x) \end{eqnarray*}$ diese affine Abbildung beschrieben wird.

Meine Ideen:
Also ich habe soweit folgendes drauf:

Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f\colon A \to B \end{eqnarray*}$ zwischen affinen Räumen $\begin{eqnarray*} (A,V_A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (B,V_B) \end{eqnarray*}$ heißt affine Abbildung, wenn es eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi\colon V_A \to V_B \end{eqnarray*}$ zwischen den zugehörigen Vektorräumen gibt, so dass
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{f(P) f(Q)} = \varphi(\overrightarrow{PQ}) \forall \end{eqnarray*}$ Punkte $\begin{eqnarray*} P, Q \in A \end{eqnarray*}$ gilt. Dabei bezeichnen $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ} \in V_A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{f(P)f(Q)} \in V_B \end{eqnarray*}$ die Verbindungsvektoren der Urbild- bzw. der Bildpunkte.

Die Definition aus der Vorlesung pinsel ich mal auch noch mal hin smile

die lautet nämlich:

$\begin{eqnarray*} A: \mathbb E^4 \rightarrow \mathbb E^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R \mapsto A R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q \mapsto A Q \end{eqnarray*}$

(R und Q sind halt zwei Punkte, die wenn man subtrahiert, einen Vektor ergeben)

Die Bedingung für eine affine Abbildung ist dann, dass $\begin{eqnarray*} \exists T : \mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R^4 \forall Q, R \in \mathbb E^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A R - A Q = T (R - Q) \Rightarrow \text{affin} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ulcorner A : \mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R^4\urcorner<br /> \llcorner r \mapsto a + T r\lrcorner \end{eqnarray*}$

Jetzt erstmal zu der 1). Ich weiß dass es drei Sorten von affinen Abbildungen gibt.

1) Konstante Translation in Raum und Zeit
$\begin{eqnarray*} R \mapsto R+a \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} r \mapsto r+a \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a=(q,s) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r = \begin{pmatrix} t \\ \vec{r} \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} t+s \\ \vec{r}+q\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2) Rotation des Raums
$\begin{eqnarray*} r = \begin{pmatrix} t \\ \vec{r} \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} t \\ 0 \vec{r}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3) Homogene Bewegung $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r = \begin{pmatrix} t \\ r \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} t \\ \vec{r}+\vec{v} t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das sind auch die drei Abbildungen, die in Aufgabenteil 1) gemeint sind, aber ich finde einfach nicht den Ansatz mit dem ich dies auf irgendeine Weise zeigen könnte.

Thanks & liebe Grüße

Simone

Zwei Beiträge zu einem zusammengefasst, damit der Antwortzähler wieder auf Null steht. Steffen

11.04.2014, 14:27

Leopold

Affine Abbildungen

Verwandte Themen