einfache Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

10.04.2014, 21:48	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
einfache Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Neun Karten liegen verdeckt auf dem Tisch. Drei der Karten sind auf nicht sichtbaren Seite mit der Aufschrift 100 € Gewinn versehen, die restlichen sechs Karten tragen keine Aufschrift. a) Wie viele verschiedene Verteilungen der drei Gewinnkarten auf die 9 Plätze sind möglich? b) Ein Kandidat darf zwei Karten umdrehen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er 100 € bzw. sogar 200 € ? c) Berechnen Sie, wie viele Karten ein Kandidat umdrehen muss, damit seine Gewinnchance über 80 % liegt. Ideen: $\begin{eqnarray} \binom{9}{3} \end{eqnarray}$ b) E_1 "100 €" E_2 "200 €" $\begin{eqnarray} P(E_1)=\frac{3}{9} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(E_2)=\frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \binom{9-n}{3-n}^{n}>0,8 \end{eqnarray}$ Ich lerne gerade ein wenig für Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ich weiß, dass die Aufgaben relativ einfach sind, aber Übung macht den Meister. Sind die Ansätze richtig ?
10.04.2014, 23:38	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
a) ist richtig. Bei b) stimmt die Wahrscheinlichkeit für "200€ Gewinn" (wobei du immer dazuschreiben solltest, was die Ereignisse $\begin{eqnarray} E_1, E_2 \end{eqnarray}$ sind). Die Wahrscheinlichkeit für 100€ Gewinn ist falsch. Du hast nur die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Umdrehen eine Gewinnkarte aufgedeckt wird. Wenn man aber genau 100€ Gewinn haben will, muss ja außerdem beim zweiten Umdrehen eine Niete umgedreht werden. Und zusätzlich musst du berücksichtigen, dass man ja auch beim ersten Mal die Niete umdrehen kann und beim zweiten Mal den Gewinn. Wie kommst du auf den Ansatz in c)? Wenn die Wahrscheinlichkeit für (mindestens) eine Gewinnkarte größer als 80% sein soll, muss ja die Wahrscheinlichkeit, dass man keine Gewinnkarte umdreht, bei höchstens 20% liegen (Gegenereignis). Wie kann man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "keine Gewinnkarte nach n-mal Umdrehen" berechnen?
10.04.2014, 23:57	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe. Ereignis 1: " Gewinn 100 €" $\begin{eqnarray} P(E_1)=\frac{6}{9} \cdot \frac{3}{8} + \frac{3}{9} \cdot \frac{6}{8}=\frac{50}{100}=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Jetzt muss es stimmen oder? Gegenwahrscheinlichkeit: $\begin{eqnarray} P(Gewinn)=1-P(\overline{Gewinn}) > 0,8 \end{eqnarray}$ Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit zu verlieren höchstens 20 %. Habe zwei Ideen: $\begin{eqnarray} \left(1-\frac{6}{9}\right)^{n} > 0,8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{9}\left(1-\frac{6}{9}\right)^{n} >0,8 \end{eqnarray}$
11.04.2014, 00:04	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left(1-\frac{6}{9}\right)^{n} > 0,8 \end{eqnarray}$ würde nur stimmen, wenn man jedes Mal die umgedrehte Karte wieder zurücklegt und dann durchmischt, sodass der Kandidat nicht mehr danach nicht mehr weiß, welche Karte er gerade umgedreht hat. Das soll aber hier bestimmt nicht so sein. Man kann das auch als Urnenmodell formulieren: Man hat eine Urne mit 6 roten und 3 schwarzen Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass man nach n-maligem Ziehen ohne Zurücklegen keine schwarze Kugel zieht, soll kleiner als 20% sein. Wie groß muss n sein? Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel bzw. eine Niete bei nur einmaligem Ziehen zu ziehen? Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit bei zweimaligem Ziehen, dass man nur rot bzw. nur Nieten zieht? usw... Wenn du dir diese Wahrscheinlichkeiten jetzt für steigendes n anguckst, wird sie irgendwann unter dieser Grenze von 20% liegen.
11.04.2014, 00:12	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe. 1. Kugel : $\begin{eqnarray} \frac{6}{9} \approx 0,67 \end{eqnarray}$ 2. Kugel : $\begin{eqnarray} \frac{6}{9} \cdot \frac{5}{8} \approx 0,416667 \end{eqnarray}$ 3. Kugel : $\begin{eqnarray} \frac{6}{9} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} \approx 0,238098 \end{eqnarray}$ 4. Kugel : $\begin{eqnarray} \frac{6}{9} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} \approx 0,12 < 0,2 \end{eqnarray}$ Gilt es dann für die 4. Kugel bzw. für die vierte Karte. Kann man auch eine Gleichung aufstellen, die sofort das Ergebnis gibt ?
11.04.2014, 00:24	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, eine Gleichung kann man aufstellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass man bei n-maligem Ziehen ohne Zurücklegen genau k Treffer zieht (wobei es in einer N-elementigen Grundgesamtheit insgesamt M Elemente gibt, bei denen man einen "Treffer" erzielen kann) ist hypergemeometrisch verteilt. X bezeichne die Anzahl der Treffer $\begin{eqnarray} P(X=k)=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} \end{eqnarray}$ Bei unserem Beispiel ist jetzt N=9 (Anzahl der Karten insgesamt), M=6 (Anzahl der Nieten), k=n (wir wollen die Wahrscheinlichkeit für n Nieten), n ist gesucht. $\begin{eqnarray} P(X=n)=\frac{\binom{6}{n}\binom{3}{0}}{\binom{9}{n}}=\frac{\binom{6}{n}}{\binom{9}{n}}\leq 0,2 \end{eqnarray}$ . Mit dem Lösen wird's jetzt schon schwieriger. Aber wenn du mal Werte für n einsetzt, kommst du auf dieselben Werte, die du berechnet hast.
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11.04.2014, 00:28	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Vielen Dank. Gute Nacht.

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