Zwei Drittel des Flächeninhalts unter einem Graphen berechnen

11.04.2014, 09:39

134340

Zwei Drittel des Flächeninhalts unter einem Graphen berechnen

Moin

Es soll eine Gerade gefunden werden, die die Fläche $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! xe^x+1 \, dx =2 \end{eqnarray*}$ in ein Verhältnis von 2:3 schneidet. Hat jemand eine Idee wie ich an die Aufgabe rangehen kann?

11.04.2014, 09:44

bijektion

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Schau dir die Funktion mal an:

Gesucht ist eine Gerade $\begin{eqnarray*} g: [0,1] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! g(x) \, dx = \frac{2}{3} \cdot 2 \end{eqnarray*}$ . Ist dir klar warum?

Jetzt kannst du ja mal die allgemeine Form für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ einsetzen und dann nach den Parametern lösen smile

11.04.2014, 10:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von bijektion
Gesucht ist eine Gerade $\begin{eqnarray*} g: [0,1] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! g(x) \, dx = \frac{2}{3} \cdot 2 \end{eqnarray*}$ . Ist dir klar warum?

Hm. Müßte nicht $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! g(x) \, dx = \frac{3}{5} \cdot 2 \end{eqnarray*}$ sein? verwirrt

11.04.2014, 10:25

bijektion

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Zitat:

Hm. Müßte nicht $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! g(x) \, dx = \frac{3}{5} \cdot 2 \end{eqnarray*}$ sein?

Warum das?

11.04.2014, 10:50

134340

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Zitat:

Ja, jetzt wo du es sagst. Weil die Fläche unter der Gerade muss ja $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ betragen.

Zitat:

Original von bijektion
Jetzt kannst du ja mal die allgemeine Form für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ einsetzen und dann nach den Parametern lösen smile

Leichter gesagt als getan Big Laugh

Ich setzt jetzt mal die allgemeine Form von ner Linearen ein und löse sie nach den Parametern auf: $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! mx+n \, dx = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{m}{2}+n= \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

11.04.2014, 10:51

klarsoweit

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Wenn ich das richtig verstehe, soll doch die Gerade g(x) die Fläche im Verhältnis 2:3 aufteilen. 3/5 der Fläche sind also unterhalb und 2/5 der Fläche sind oberhalb der Geraden g(x). Nur so erhält man das Verhältnis 2:3.

Aber vielleicht habe ich die Aufgabe inhaltlich total mißverstanden. geschockt

11.04.2014, 11:20

134340

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Du hast recht klarsoweit geschockt

Da wär ich niemals draufgekommen. Also hab ich dann $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! mx+n \, dx = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \frac{m}{2}+n= \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$ ? Wie bekomm ich jetzt aber m und n raus?

11.04.2014, 11:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von 134340
Also hab ich dann $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! mx+n \, dx = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \frac{m}{2}+n= \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$ ? Wie bekomm ich jetzt aber m und n raus?

Ich dachte eher an: $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! mx+n \, dx = \frac{3}{5} \cdot 2 \end{eqnarray*}$ smile

Zitat:

Original von 134340
Wie bekomm ich jetzt aber m und n raus?

Hm. Da die Aufgabe für meinen Geschmack etwas unpräzise ist, würde ich es mit einer Urspungsgeraden, also n=0 versuchen. Man müßte aber zeigen, daß die so entstehende Gerade unterhalb der Integrandenfunktion liegt.

11.04.2014, 11:34

Rochus

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Was wäre denn mit der Geraden $\begin{eqnarray*} g(x):=\frac 45~? \end{eqnarray*}$

11.04.2014, 11:39

klarsoweit

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Das teilt die Fläche im Verhältnis 3:2 oder auch in der Tat in 2:3, je nachdem von wo man die Sache betrachtet.

Ein Grund mehr, an die unpräzise Aufgabenstellung ein dickes Fragezeichen dranzumachen. Augenzwinkern

11.04.2014, 11:44

bijektion

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Zitat:

Aber vielleicht habe ich die Aufgabe inhaltlich total mißverstanden. geschockt

Oder auch ich unglücklich

11.04.2014, 11:54

134340

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Oh, ich bitte um verzeihung, ich hätte einfach die ganze Aufgabe posten sollen, da steht nämlich dass es sich um eine Ursprunggerade handelt: "Es gibt Ursprungsgeraden, die die Fläche aus d) (das Integral was ich am Anfang geschrieben hatte) in zwei Teile zerlegen. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer Ursprungsgeraden, für die die Flächeninhalte der beiden Teilflächen im Verhältnis 2:3 stehen."

Dann weiß ich ja auch wie groß m ist nämlich $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! mx \, dx = \frac{6}{5} \Leftrightarrow \frac{m}{2}=\frac{6}{5}\Leftrightarrow m=\frac{12}{5} \end{eqnarray*}$ und somit hat die Gerade die Gleichung $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{12}{5}x \end{eqnarray*}$ ; stimmt das so?

11.04.2014, 12:07

klarsoweit

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Im Prinzip ja. Es bleibt aber das Problem, ob diese Gerade unterhalb der Integrandenfunktion liegt (sie könnte diese ja auch schneiden).

11.04.2014, 12:13

134340

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In der Aufgabenstellung steht: "Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer Ursprungsgeraden ..." und es handelt sich ja um eine der Funktionsgleichungen also ist die Aufgabe damit gelöst.

Danke für eure Hilfe smile

Ihr seid echt tolle Helfer Freude

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