Ito-Formel - Multiplikationstabelle

11.04.2014, 11:38	RAP	Auf diesen Beitrag antworten »
Ito-Formel - Multiplikationstabelle Hallo, ich beschäftige mich momentan mit der stochastischen Integration und Itos Formel. Diese besagt: Für eine $\begin{eqnarray} C^{2} \end{eqnarray}$ -Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und ein stetiges Semimartingal $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ mit eindeutiger Doob-Meyer-Zerlegung $\begin{eqnarray} X_{t}=X_{0}+m_{t}+b_{t} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f(X_{t})=f(X_{0})+\int\limits_{0}^{t} f'(X_{s})dX_{s}+\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{t}f''(X_{s})d<m>_{s} \end{eqnarray}$ Hier schon mal sozusagen eine Nebenfrage: Bei z.B. Wikipedia steht beim letzten Integral $\begin{eqnarray} ds \end{eqnarray}$ anstatt von $\begin{eqnarray} d<m>_{s} \end{eqnarray}$ . Wie kommt das? $\begin{eqnarray} m_{t} \end{eqnarray}$ ist ja der Martingalanteil und somit ist $\begin{eqnarray} m_{t}^{2} \end{eqnarray}$ ein Submartingal. Aber es gilt doch sicher nicht, dass der Kompensator von $\begin{eqnarray} m_{t}^{2} \end{eqnarray}$ , also die quadratische Variation $\begin{eqnarray} <m>_{t} \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ist, dass also immer $\begin{eqnarray} m_{t}^{2}-t \end{eqnarray}$ ein Martingal ist, falls $\begin{eqnarray} m_{t} \end{eqnarray}$ ein Martingal ist. Gbit es da irgendwelche Zusammenhänge, die ich nicht erkenne? Vor allem geht es mir aber um die sogennante Multiplikationstafel, die da besagt, dass $\begin{eqnarray} (dt)^{2}=dtdB_{t}=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (dB_{t})^{2}=dt \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} B_{t} \end{eqnarray}$ die Standard Brownsche Bewegung. In dem Skript, mit dem ich arbeite, wird dies anhand eines Beispiels hergeleitet. Und zwar wird folgendes betrachtet: $\begin{eqnarray} \eta_{t}=\underbrace{\int\limits_{0}^{t}x_{u}dB_{u}}_{=m_{t}}-\underbrace{\frac{1}{2} \int\limits_{0}^{t}x^{2}_{u}du}_{=b_{t}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_{t}:=exp(\eta_{t}) \end{eqnarray}$ . Aus der Ito-Formel folgt dann für $\begin{eqnarray} f(x)=exp(x) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} z_{t}=f(\eta_{t})=...=1+\int\limits_{0}^{t}z_{s}x_{s}dB_{s} \end{eqnarray}$ Beziehungsweise in Differentialform: $\begin{eqnarray} dz_{t}=z_{t}x_{t}dB_{t}, \quad z_{0}=1 \end{eqnarray}$ Schreibt man nun auch den Anfang in Differentialform $\begin{eqnarray} d\eta_{t}= x_{t}dB_{t}-\frac{1}{2}x_{t}^{2}dt \end{eqnarray}$ und berechnet man rein formal $\begin{eqnarray} (d\eta_{t})^{2}=(x_{t}dB_{t}-\frac{1}{2}x_{t}^{2}dt)^{2} \end{eqnarray}$ so ist dies nach der Ito-Formel gleich $\begin{eqnarray} x_{t}^{2}dt \end{eqnarray}$ . Und daraus ergeben sich die Resultate für die Multiplikation wie oben beschrieben. Mir ist nur lediglich der allerletzte Schritt "so ist dies nach der Ito-Formel gleich..." unklar. Wieso kommt das da raus? Ich kann das nicht aus $\begin{eqnarray} z_{t}=f(\eta_{t})=1+\int\limits_{0}^{t}z_{s}x_{s}dB_{s} \end{eqnarray}$ erkennen. Ich wäre wirklich sehr, sehr dankbar, falls mich da jemand von Euch aufklären könnte. Liebe Grüße RAP

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