Reihendivergenz und Minorantenkriterium

11.04.2014, 14:05

pajogamoma

Reihendivergenz und Minorantenkriterium

Meine Frage:
Hallo Allerseits,

Ich hab eine prinzipielle Frage dazu wie man von Reihen deren Folgen ein Polynom im Nenner und Zähler haben die Divergenz mittel des Majorantenkriteriums nachweist.

Bsp.:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k^3-k^2+2k+1}{3k^4-k^2-2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also nun mal ganz allgemein Formuliert:
Ich habe ein Reihe über der Folge r[k] in der oben beschriebenen Form und schaffe schaffe es nun irgendwie das dahin Umzuformen:

$\begin{eqnarray*} r[k]=\frac{1}{k} * restpolynom[k] \end{eqnarray*}$

zu bringen und es stellt sich heraus, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } restpolynom[k]= X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X \neq 0 \end{eqnarray*}$

Kann ich dann sagen dass es eine reelle Konstante C gibt mit 0 < C < X sodass ab einem bestimmten $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} |r[k]| \geq C* \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$
und dass dann wegen der Divergenz von

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac {1}{k} \end{eqnarray*}$ auch

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty C * \frac{1}{k} = C *\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

divergiert? Muss meine Konstante C dann echt größer 1 sein oder reicht ein C>0 ?

Danke sconmal für alle Antworten
smile

Grüße

pajogamoma

11.04.2014, 14:20

HAL 9000

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Deine Begriffe sind z.T. falsch gewählt (wie z.B. "Restpolynom"), aber inhaltlich bist du auf der richtigen Spur. "Sauber" aufgeschrieben würde das in etwa so aussehen:

Du betrachtest $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{k^3-k^2+2k+1}{3k^4-k^2-2} = \frac{1}{k} \cdot \frac{1-\frac{1}{k}+\frac{2}{k^2}+\frac{1}{k^3}}{3-\frac{1}{k^2}-\frac{2}{k^4}} \end{eqnarray*}$ .

Offenbar konvergiert der zweite Faktor gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , also gibt es für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ , so dass dieser zweite Faktor für alle $\begin{eqnarray*} k\geq k_0 \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[\frac{1}{3}-\varepsilon,\frac{1}{3}+\varepsilon\right] \end{eqnarray*}$ liegt. Uns interessiert hier nur die untere Intervallgrenze: Wenn wir das z.B. für $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ betrachten, dann wissen wir also, dass es ein $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} a_k \geq \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq k_0 \end{eqnarray*}$

gibt, und mehr brauchen wir ja nicht für das Minorantenkriterium der Divergenz.

Zitat:

Original von pajogamoma
Muss meine Konstante C dann echt größer 1 sein oder reicht ein C>0 ?

Hab ich ja im Prinzip oben beantwortet: Es reicht C>0, wie in unserem Fall das $\begin{eqnarray*} C=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

11.04.2014, 20:39

pajogamoma

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Achso danke für die Erklärung.

Heißt das, dass eine divergente Reihe mit einem konstanten Faktor ungleich Null multipliziert immernoch eine dirvergente Reihe ist?

11.04.2014, 20:50

HAL 9000

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Ja.

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