Einfache Ableitung

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12.04.2014, 03:02	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfache Ableitung Wie bilde ich die Ableitung nach x der Funktion $\begin{eqnarray} \tan(\cot(x)) \end{eqnarray}$ ? Hab das erst mal umgeformt: $\begin{eqnarray} \tan( \frac 1 {\tan(x)}) \end{eqnarray}$ Und wie geht's weiter?
12.04.2014, 03:18	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung sieht nicht sonderlich schön aus, jedenfalls die die ich erhalten habe, aber du kannst hier wie gehabt die Kettenregel anwenden.
12.04.2014, 03:24	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie leite ich $\begin{eqnarray} \tan(x) \end{eqnarray}$ ab?
12.04.2014, 03:25	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray}$ Und jetzt wie gehabt die Quotientenregel.
12.04.2014, 06:24	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt.. okay ich seh schon, das wird unschön. $\begin{eqnarray} \tan(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}) = \frac{\sin(\frac{\cos(x)}{\sin(x)})}{\cos(\frac{\cos(x)}{\sin(x)})} \end{eqnarray}$ Und das jetzt mit Quotientenregel ableiten?
12.04.2014, 11:49	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Kettenregel besagt ja "in Worten" äußere Ableitung mal innere Ableitung. Ich würde es erstmal so notieren und mich dann von außen nach innen arbeiten. $\begin{eqnarray} \tan\left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right) \end{eqnarray}$ Jetzt bilden wir zu erst die innere Ableitung: $\begin{eqnarray} \left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)'=... \end{eqnarray}$ Danach bilden wir die äußere Ableitung. Dazu müssen wir nur $\begin{eqnarray} (tan(x))'=... \end{eqnarray}$ angeben, was schließlich wieder mit cot(x) verkettet wird. Das sieht nicht ganz so unangenehm aus wie du vielleicht jetzt denkst.
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13.04.2014, 15:57	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ich versuchs einfach mal und entschuldige wegen der späten Antwort. Quotientenregel für die innere Ableitung: $\begin{eqnarray} \left( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \right)' = \frac{- \sin(x) \cdot \sin(x) - \cos(x) \cdot \cos(x)}{\sin^2(x)} = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} \end{eqnarray}$ Trigonometrischer Pythagoras: $\begin{eqnarray} = - \frac{1}{\sin^2(x)} \end{eqnarray}$ Äußere Ableitung / Quotientenregel: $\begin{eqnarray} (\tan(x))' = \left( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right)' = \frac{\cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot (- \ \sin(x))}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}= \frac 1 {\cos^2(x)} \end{eqnarray}$ Äußere * innere Ableitung: $\begin{eqnarray} \frac 1 {\cos^2(x)} \cdot \left( - \frac{1}{\sin^2(x)} \right) = - \frac{1}{\cos^2(x) \cdot \sin^2(x)} \end{eqnarray}$
13.04.2014, 16:07	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, nur das du nicht $\begin{eqnarray} cos(x)^2 \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} cos(cot(x))^2 \end{eqnarray}$ hast.
13.04.2014, 16:20	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach stimmt, sorry. $\begin{eqnarray} - \frac{1}{\cos^2(\cot(x))} \cdot \frac{1}{\sin^2(x)} = - \frac{1}{\sin^2 \cdot \cos^2(\cot(x))} = - \left( \frac{1}{\sin \cdot \cos(\cot(x))} \right)^2 \end{eqnarray}$ Jetzt in Ordnung?
13.04.2014, 16:26	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist richtig.
13.04.2014, 16:28	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay so schlimm war das ja nicht, muss mir nur die allgemeinen Definitionen der trig. Funktionen merken. Dankeschön.
13.04.2014, 16:30	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen.

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