Ungleichung

12.04.2014, 09:59	LemanRuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung Hi, Aufgabe: $\begin{eqnarray} \frac{2x}{x-3} \geq 3 \end{eqnarray}$ Kurzlösung sagt: Lösungsintervall ist $\begin{eqnarray} (3, 9] \end{eqnarray}$ Mein Vorgehen: Erstmal umstellen: $\begin{eqnarray} \frac{2x}{x-3} \geq 3 <=> \frac{2x}{x-3} -3 \geq 0 <=> \frac{-x+9}{x-3} \geq 0 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} x = 3 \end{eqnarray}$ nicht definiert. Dann muss ich doch ne Fallunterscheidung machen, ob $\begin{eqnarray} x - 3 > 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x - 3 < 0 \end{eqnarray}$ ist, oder? Denn das Ungleichheitszeichen wechselt ja, wenn ich mit Minus multipliziere. Sei $\begin{eqnarray} x - 3 > 0 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} x > 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{-x+9}{x-3} \geq 0 => -x+9 \geq 0 <=> x \leq 9 \end{eqnarray}$ . Das führt mich auch schon auf die Musterlösung $\begin{eqnarray} (3, 9] \end{eqnarray}$ . Aber ich muss ja dennoch weitermachen: Sei $\begin{eqnarray} x - 3 < 0 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} x < 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{-x+9}{x-3} \geq 0 => -x+9 \leq 0 <=> -x \leq -9 <=> x \geq 9 \end{eqnarray}$ . Also der Intervall ist $\begin{eqnarray} (-\infty, 3) \bigcup [9, \infty) \end{eqnarray}$ . Dieser Intervall kann aber nicht sein, zur Probe: $\begin{eqnarray} x =-5 \end{eqnarray}$ führt zu $\begin{eqnarray} \frac{14}{-8} < 0 \end{eqnarray}$ . Wo ist denn hier der Fehler?
12.04.2014, 10:08	LemanRuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach, ich idiot! Die Fallunterscheidung ist falsch. Wenn der Nenner kleiner NUll ist und der Zähler größer Null, dann ist der Term natürlich negativ
12.04.2014, 11:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die Fallunterscheidung an sich ist richtig, und auch die Behandlung des ersten Falls. Auch den zweiten Fall $\begin{eqnarray} x-3<0 \end{eqnarray}$ hast du fast richtig durchgeführt - mit einer allerdings entscheidenden Ausnahme: Die Lösungsmenge dort ist nicht $\begin{eqnarray} (-\infty, 3) \cup [9, \infty) \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} (-\infty, 3) \cap [9, \infty) \end{eqnarray}$ , und diese Durchschnittsmenge ist leer, d.h. keine Lösungen in diesem zweiten Fall.
12.04.2014, 11:28	LemanRuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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