Dirac-Folge Kriterien

12.04.2014, 11:58	Escapado	Auf diesen Beitrag antworten »
Dirac-Folge Kriterien Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge $\begin{eqnarray} \delta_n(x) = \left( \frac{n}{\pi} \right)^{1/2} e^{-nx^2} \end{eqnarray}$ im Limes $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ die Diract $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ -Funktion ergibt. Da unser Dozent in theoretischer Physik kein Wort über diese "Funktion" verloren hat und wir das in Mathe noch nicht hatten habe ich mich zunächst an die Definition von Wikipedia gehalten. Da gibt es 4 Kriterien: 1. Die Folge enthält integrierbare Funktionen 2. sie ist für alle x aus R und n aus N größer gleich null 3. Für alle n aus N gilt: $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}^2} \delta_n (x) dx = 1 \end{eqnarray}$ 4. Für alle $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty} \int_{\mathbb{R}^n\setminus B_\epsilon(0) } \delta_n (x) dx = 0 \end{eqnarray}$ Also 1. ist klar. Zu 2. habe ich geschrieben: Für n = 0 ist die Bedingung offensichtlich erfüllt. Für n > 0: $\begin{eqnarray} &\delta_n(x) \overset{!}{\geq} 0 \\<br /> \Leftrightarrow & \left( \frac{n}{\pi} \right)^{1/2} e^{-nx^2} > 0 \quad \|: \left( \frac{n}{\pi} \right)^{1/2}\\<br /> \Leftrightarrow &e^{-nx^2}>0 \quad\|\cdot e^{nx^2} \\<br /> \Leftrightarrow& 1 > 0 \end{eqnarray}$ Ist also wahr. Zu 3. Da man ja scheinbar von minus unendlich bis plus unendlich integrieren muss gilt: $\begin{eqnarray} \int \left( \frac{n}{\pi} \right)^{1/2} e^{-nx^2} dx \overset{!}{=} 1<br /> \Leftrightarrow \left( \frac{n}{\pi} \right)^{1/2} \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} e^{-nx^2}}_{=\sqrt{\pi/n}} dx =1 \end{eqnarray}$ Ist also auch erfüllt. Wenn bis hierhin etwas schief gelaufen ist würde ich mich freuen wenn man mich darauf hinweisen könnte. Meine Hauptfrage bezieht sich jedoch darauf: Was genau bedeutet bei dem letzten Kriterium diese Einschränkung des Integrationsbereiches? Mir ist gar nicht klar was dieses B(0) mit dem Epsilon überhaupt st. Was genau muss ich da rechnen um das zu zeigen? Danke schon mal
12.04.2014, 13:54	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dirac-Folge Kriterien hallo, dazu kann ich einiges sagen: Mit B(0) ist die einheitskugel um den 0-punkt mit dem radius epsilon gemeint, und man lässt epsilon natrülich gegen 0 gehen. Und bei dem integral bei nr.4 durchläuft x also den gesamten R^n bis auf die epslilonkugel um den 0-punkt. gruss ollie3
12.04.2014, 14:10	Escapado	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ollie3, Danke für die Antwort soweit. Also anschaulich bedeutet das dann ja, dass man eben im Grenzwert über alles integriert nur nicht über den Ort an dem die Funktion sozusagen ihren Peak hat, sodass eben dann doch nichts rauskommt. Hat jemand einen Tipp, wie ich den Formalen Beweis dafür nun anfangen kann?
19.01.2021, 19:41	la capra	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionenanalysis Hallo Ollie3, die Dirac-Folge ist bekanntlich an allen Punkten außer x=21 null. Liebe Grüße la capra

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