cosh(y) substituieren

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12.04.2014, 18:07	Cindie	Auf diesen Beitrag antworten »
cosh(y) substituieren Meine Frage: Hi, ich soll die Formel $\begin{eqnarray} x=cosh(y)= 0.5(e^y +e^{-y}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=sinh(y)= 0.5(e^y -e^{-y}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u = e^y \end{eqnarray}$ substituieren, nach u auflösen und dann zurücksubstituieren. Das ganze soll man machen, weil man zeigen soll, dass folgende Gleichungen gelten: $\begin{eqnarray} arcosh(x)= ln(x+\sqrt{x²-1}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} arsinh(x)= ln(x+\sqrt{x²+1}) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich hänge bei $\begin{eqnarray} x=cosh(y)=\frac{1}{u} + \frac{1}{2u} \end{eqnarray}$
12.04.2014, 18:12	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn dahin? Das sollte falsch sein.
12.04.2014, 18:32	Cindie21	Auf diesen Beitrag antworten »
So, hatte noch Probleme bei der Registrierung... Also... $\begin{eqnarray} x=cosh(y)= \frac{1}{2}(e^y +e^{-y}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow x=cosh(y)= \frac{1}{2}(e^y + \frac{1}{e^{y} } ) \end{eqnarray}$ dann substituieren mit $\begin{eqnarray} e^{y} = u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow x=cosh(y)= \frac{1}{2}( u +\frac{1}{u} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow x=cosh(y)= \frac{1}{2} u +\frac{1}{2u} \end{eqnarray}$
12.04.2014, 18:38	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht solltest du es eher so aufschreiben: $\begin{eqnarray} y=\frac12\left(e^x-e^{-x}\right) \end{eqnarray}$ Weil du nun die Umkehrfunktion bestimmen möchtest, tauschst du x und y: $\begin{eqnarray} x=\frac12\left(e^y-e^{-y}\right) \end{eqnarray}$ Und löst das nach y auf. Deine Notation kommt mir etwas seltsam vor. $\begin{eqnarray} x=\frac{1}{2}u+\frac{1}{2u} \end{eqnarray}$ Soweit so gut. Wie geht es jetzt weiter? Was stört am meisten und wie beheben wir dies?
12.04.2014, 18:49	Cindie21	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bekomme u nicht allein auf eine Seite bzw kann die zwei u's auf der rechten Seite nicht zusammenfassen?
12.04.2014, 18:50	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das erste was in solchen Situationen immer stört, ist meistens der Bruch mit dem u im Nenner. Das sollte man zu erst beheben.
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12.04.2014, 18:55	Cindie21	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} 2xu = u² + 1 \end{eqnarray}$
12.04.2014, 18:56	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Bringt man das alles auf eine Seite, dann haben wir $\begin{eqnarray} u^2-2xu+1=0 \end{eqnarray}$ Und jetzt geht es darum diese quadratische Gleichung zu lösen. Wie?
12.04.2014, 19:04	Cindie21	Auf diesen Beitrag antworten »
Mitternachtsformel, aber dann steht irgendwann mal das da $\begin{eqnarray} u_{1,2} = \frac{-(-2x)\pm \sqrt{(-2x)²-411} }{21} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_{1,2} = \frac{2x\pm \sqrt{4x²-4} }{2}<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$ Jetzt hab ich ja in der Formel wieder x ?
12.04.2014, 19:08	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja nicht schlimm. Eigentlich ist das genau das was du haben möchtest. Du kannst das ja auch einmal mit der Lösung vergleichen. Richtig. Die Mitternachtsformel, oder pq-Formel, oder was es da sonst noch für Namen für gibt. Hier kannst du erst einmal kürzen und etwas vereinfachen. So erhalten wir: $\begin{eqnarray} u_{1,2}=x\pm\sqrt{x^2-1}<br /> <br /> u_1=x+\sqrt{x^2-1}<br /> <br /> u_2=x-\sqrt{x^2-1} \end{eqnarray}$ Davon ist eins keine Lösung. $\begin{eqnarray} u_1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} u_2 \end{eqnarray}$ und warum?
12.04.2014, 19:18	Cindie21	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss man da jetzt die Probe machen und in $\begin{eqnarray} u^2-2xu+1=0 \end{eqnarray}$ einsetze? Das wäre doch etwas zu umständlich?
12.04.2014, 19:27	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, deshalb kannst du dir lieber überlegen ob u_1 bzw. u_2 überhaupt dem Definitionsbereich von e^x entspricht, also immer positiv ist.
12.04.2014, 19:52	Cindie21	Auf diesen Beitrag antworten »
Für x = 1 sind beide größer 0 für x = -1 sind beide negativ für x = 2 sind beide positiv für x = -2 sind beide negativ ... muss ich da jetzt so alle Werte durchgehen? bin gerade ziemlich am grübeln... kann man da nicht einfacher draufkommen?
12.04.2014, 21:27	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den Logarithmus auf die beiden u-Werte anwendest, dann ist einer negativ, und der andere positiv. Die Umkehrfunktion von cosh bildet aber nur auf positive Werte ab.
12.04.2014, 22:31	Cindie21	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie genau gehe ich vor um herauszufinden, dass einer negativ und der andere positiv ist wenn ich den Logarithmus darauf anwende?
12.04.2014, 23:03	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Logarithmus ist negativ, wenn wir eine Zahl <1 einsetzen. Die Werte des cosh werden nie kleiner als 1, also ist $\begin{eqnarray} x\geq 1 \end{eqnarray}$ Und x ist immer minimal größer als $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2-1} \end{eqnarray}$ Wenn du $\begin{eqnarray} x-\sqrt{x^2-1} \end{eqnarray}$ rechnen landen wir also in einem Bereich zwischen 1 und 0.
13.04.2014, 12:08	Cindie21	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme irgendwie mit diesem hin und her denken zwischen Logarithmus, cosh, arcos etc. noch nicht so richtig klar. Also mit diesem "wie muss x sein damit der ln so ist und somit der cosh so". Auch wenn ich sie vor mir sehe. Vielleicht ist die Aufgabe ja schon ausreichend gelöst indem ich mit u1 und u2 eine der Möglichkeiten habe die ich zeigen soll.
13.04.2014, 14:18	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Da du ja weißt wie die Lösung aussieht, weißt du ja auch welchen u-Wert du ausschließen musst. Natürlich kannst du dir die Gedanken dazu dann sparen, auch wenn man es sich vielleicht klar machen sollte. Ich versuche es noch einmal ausführlicher zu erklären. Wir suchen ja gerade die Umkehrfunktion vom cosh. Der cosh nimmt nur Werte $\begin{eqnarray} \geq 1 \end{eqnarray}$ an. (Schaue dir dazu ruhig einen plot an) Dann haben wir $\begin{eqnarray} \cosh(x)=y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y\geq 1 \end{eqnarray}$ . Wenn wir die Umkehrfunktion anwenden, dann haben wir $\begin{eqnarray} x=\operatorname{arcosh(y)} \end{eqnarray}$ In der Umkehrfunktion tauchen also nur Werte auf die sowieso schon größer gleich 1 sind. Kleinere Werte kann der cosh auch gar nicht angeben.
13.04.2014, 15:24	Cindie21	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ich denke langsam geht es auch in mein Gehirn über. Mit Hilfe eines Plots ist es auch schon viel besser zu verstehen. Dann sag ich mal vielen Dank und vielleicht bis zur nächsten Aufgabe
13.04.2014, 15:27	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen. Die andere Umkehrfunktion sollte genau so gehen wie du arcosh bestimmt hast. Und natürlich die Rücksubstitution nicht vergessen.

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