Diophantisches Gleichungssystem

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Gustav Auf diesen Beitrag antworten »
Diophantisches Gleichungssystem
Ich suche rationale Lösungen des Gleichungssystems:









Vielen Dank für jegliche Hilfe smile

MfG, Gustav
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diophantisches Gleichungssystem
Zitat:
Original von Gustav



Hallo Gustav,
ist das ein Schreibfehler oder Absicht? So wie du das geschrieben hast, kann man das nämlich zu vereinfachen.

EDIT:
Noch was: ist das gleiche wie

Gruß, therisen
Gustav Auf diesen Beitrag antworten »

Muss es heißen... das war ein Schreibfehler smile
MfG
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Gustav,

Du hast oben eine Bedingung an die Variable b gestellt. Jedoch sehe ich kein b in deinen Gleichungen? Fehlt das noch oder hast du dich verschrieben?

Hast du schon probiert mithilfe eines Computers ein paar Lösungen zu finden?
Suchst du "rationale Lösungen" oder sucht du "alle rationalen Lösungen"?

Liebe Grüsse,
Irrlicht
Soap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diophantisches Gleichungssystem
Hallo Gustav, die erste Gleichung lässt sich doch in der Klammer zusammenfassen (binomische Formeln):



Für die zweite Gleichung gilt Ähnliches:


(wurde ja schon von jemand vorher bemerkt)

Weiter weiss ich jetzt zwar auch nicht sieht aber schon besser aus, denke ich. smile

Nochwas: Suchst du ganzahlige Lösungen (das Wort diophantisch deutet darauf hin) oder rationale Lösungen? verwirrt
Gustav Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Ich suche nur einige rationale Lösungen. Das mit dem b war ein kleiner Fehler - b kommt tatsächlich nicht vor. smile
Von diophantischen Gleichungen hab ich keine Ahnung... hab aber auch keine guten Tutorials gefunden...
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wär's erst einmal mit ganzzahligen Lösungen, z.B.

a = 3 , c = 6 , d = 6 , x = 1
a = 8 , c = 24 , d = 24 , x = 1
a = 13 , c = 689 , d = 91 , x = 6
a = 15 , c = 60 , d = 60 , x = 1
a = 21 , c = 273 , d = 105 , x = 2
a = 24 , c = 120 , d = 120 , x = 1
a = 35 , c = 210 , d = 210 , x = 1
a = 45 , c = 855 , d = 315 , x = 2
a = 48 , c = 336 , d = 336 , x = 1
a = 63 , c = 504 , d = 504 , x = 1
a = 80 , c = 720 , d = 720 , x = 1
a = 99 , c = 990 , d = 990 , x = 1

Man erkennt, daß alle Quadrupel mit x=1 von der Form

a=(k-1)(k+1)
c=d=(k-1)k(k+1)
x=1
Gustav Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold!

Danke für deine Lösungen. Sie sind leider nicht gültig, da sowohl
x > 1 als auch c > d nicht erfüllt ist.
Ich habe jetzt inzwischen eine gültige ganzzahlige Lösung gefunden:
(1)
(2)
Also a = 21, x = 2, c = 273, d = 105. Diese Lösung erfüllt alle Bedingungen.

MfG, Gustav
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Na, da habe ich aber doch noch ein paar mehr aufgeschrieben!
Gustav Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, richtig. Ich habe nicht richtig gelesen *g*.

Ich habe noch ein Problem mit einer anderen diophantischen Gleichung, und zwar möchte ich zeigen, dass

(1)

unendlich viele rationale Lösungen mit m > 2, besitzt. Eine Lösung ist gegeben durch

Eine weitere ist:

Ich habe aber keine Idee, wie ich einen Beweis führen könnte.

[edit]

Ich habe auch ein kleines VB-Skript für ganzzahlige Lösungen:
code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
'VB-Skript für die Gleichung 8m²-31=n²
'---------------------------------------------------
Set FSO = CreateObject("Scripting.FileSystemObject")
Set MyFile = FSO.CreateTextFile("Lösung.txt")
'---------------------------------------------------
j = 0 'Anzahl der Lösungen
i = inputbox("Bis zu welcher Zahl sollen Lösungen gesucht werden?")

If i < 2 Then i = 2
For m = 2 To i
	If(SQR(8*m*m-31) = Int(SQR(8*m*m-31))) Then
		MyFile.WriteLine "8 * " & m & "² - 31 = " & SQR(8*m*m-31) & "²"
		j = j + 1
	End If
Next
MsgBox "Fertig! " & j & " Lösungen gefunden."
'---------------------------------------------------


Dieses liefert folgende Ergebnisse:



















Allerdings gelingt es mir nicht eine Parameterdarstellung der Lösungsschar zu konstruieren. n ist stets ungerade, was auch an den Kongruenzen

mod 2
mod

klar zu erkennen ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte die Zahlenfolgen ,
die alle der Rekursion

genügen mögen und die folgenden Startwerte besitzen:



Du kannst versuchen, durch vollständige Induktion zu zeigen, daß für bzw. tatsächlich gilt.

Man kann auch explizite Darstellungen angeben. Für die ungestrichenen Folgen habe ich das einmal mit Hilfe von erzeugenden Funktionen gemacht:

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