Injektivität und Surjektivität untersuchen

13.04.2014, 14:35

Mandy1986

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Injektivität und Surjektivität untersuchen

Meine Frage:
Hi, ich bin erstes Semester Informatik Studium seit zwei Wochen jetzt und hab hier ne Selbsttestaufgabe, welche ich gerne mit euch lösen würde... Ich muss dazu sagen ich bin nicht der Mathe Überprofi :-) Es wäre cool wenn mir jemand mal die Ergebnisse herleitet und seine Schritte dabei dokumentiert, damit ich weiß wie man hier generell vorgeht? :-/

Also die Aufgabe ist:

Sei f: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ durch f(z) = |z| definiert für alle z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Außerdem sei |z| = z falls z $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0, und |z| = -z, falls z < 0.

Ist f injektiv, oder surjektiv?

Meine Ideen:
Meine erste Frage wäre, was bedeutet |z| in diesem Zusammenhang? Es kann ja nicht die Mächtigkeit von z sein, weil z ist ja nur ein Wert oder?!?

Das check ich gerade irgendwie nicht.

Zur Aufgabe an sich, wenn f eine Abbildung der ganzen Zahlen ist und durch die Funktion nichts veränder wird ist die Abbildung bijektiv, also injektiv und surjektiv... Weil zu jedem z genau ein f(z) besteht und zu jedem f(z) auch genau ein z vorhanden ist...

Oder sehe ich das falsch?!?

Sorry wenn ich hier vollkommen daneben liege, wie gesagt ich bin hier erst ganz am Anfang und versuche eine Art Herangehensweise an solche Probleme zu bekommen :-/

13.04.2014, 15:39

Math1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Gemeint ist mit der gegebenen Funktion schlicht die Betragsfunktion, die hier auf Injektivität und Surjektivität zu untersuchen ist (bezüglich des gegebenen Definitions- und Wertebereiches). Ohne das zu wissen kannst du die Aufgabe natürlich nicht lösen.

13.04.2014, 16:26

Mandy1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Hi,

danke schonmal für die schnelle Info :-)

Also wenn ich das dann richtig verstehe würde das ganze dann folgendes Ergebnis bringen...

z.B.

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Alle Zahlen unter 0 werden durch |z| = -z umgedreht sprich

f(-3) = 3
f(-2) = 2
f(-1) = 1

Dann die die größer gleich 0 sind bleiben gleich

f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 3

Da es dann für z.B. Urbild (1) = Bild {-1,1} ergibt, kann es nicht injektiv sein.

Da es aber für jedes Bild, z.B. Bild {-2,2} genau ein Urbild (2) gibt, ist es surjektiv

Liege ich hier richtig?

Wäre schön wenn ihr mir hier noch kurz sagt ob ich richtig liege? :-/

13.04.2014, 16:34

Math1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen

Zitat:

Original von Mandy1986
Alle Zahlen unter 0 werden durch |z| = -z umgedreht sprich

f(-3) = 3
f(-2) = 2
f(-1) = 1

Dann die die größer gleich 0 sind bleiben gleich

f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 3

Da es dann für z.B. Urbild (1) = Bild {-1,1} ergibt, kann es nicht injektiv sein.

Das ist soweit richtig. Die Notation stimmt aber nicht ganz, entweder Bild {-1,1}={1} oder Urbild (1) = {-1,1}, bzw. f(-1)=f(1)=1.

Zitat:

Original von Mandy1986
Da es aber für jedes Bild, z.B. Bild {-2,2} genau ein Urbild (2) gibt, ist es surjektiv

Liege ich hier richtig?

Das stimmt nicht. Ich weiß nicht warum du hier mit Bild {-2,2} anfängst.
Numm dir ein beliebiges $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Kannst du dazu auch immer ein Urbild angeben?

13.04.2014, 17:01

Mandy1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Sorry wegen der Notation, ich muss mir das schnellsmöglich angewöhnen...

Hmm ich kann zu jedem Bild ein Bild finden, derzeitig würde ich sagen ja, aber das ist falsch oder? :-/

Bild (0) hat Urbild (0)
Bild (-1,1) hat Urbild (1)
Bild (-2,2) hat Urbild (2)
usw...

somit hat jedes Bild genau ein Urbild...

Kannst du mir meinen Denkfehler erklären? Wenn ich auf den komme wäre mir generell sehr geholfen... Hab ich die Surjektivität falsch verstanden?

13.04.2014, 17:43

Math1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Ja, du hast irgendwo einen ganz gravierenden Denkfehler.

Natürlich kannst du zu jedem Element des Bildes auch ein Urbild finden, genauso ist das Bild schließlich definiert.
Du musst zum Beweis der Surjektivität ein Element der Zielmenge nehmen und zeigen, dass dieses Element im Bild liegt, also ein Urbild angeben.

Du nimmst z.B. $\begin{eqnarray*} 1\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Kannst du dazu ein Urbild finden? Oder zu $\begin{eqnarray*} -1\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ? Und so weiter für alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
Wenn ja: Beweis, wenn nein: Gegenbeispiel.

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13.04.2014, 18:28

Mandy1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Aber ich finde doch zu jedem z € Z ein Urbild?!?

Wir haben ja am Ende den Wertebereich $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$

{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

-3 hat Urbild (3)
-2 hat Urbild (2)
-1 hat Urbild (1)
0 hat Urbild (0)
1 hat Urbild (1)
2 hat Urbild (2)
3 hat Urbild (3)

Das immer zwei Elemente aus dem Wertebereich ein Element aus dem Definitionsbereich haben ist ja für die Surjektivität nicht ausschlaggebend... (Oder?)

Demnach ist es Surjektiv?

Oder könntes du mir dein Gegenbeispiel sagen?

Sorry bin gerade etwas verwirrt :-)

13.04.2014, 19:01

Math1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Nein! Warum sollte denn " -3 hat Urbild (3) " gelten? Worauf wird die 3 denn abgebildet?

13.04.2014, 19:02

Mandy1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Kannst du mir noch einmal auf die Sprünge helfen ob ich richtig bin? Oder wie das Gegenbeispiel aussieht? :-/

13.04.2014, 19:05

Mandy1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Naja Urbild (3) wird auf Bild (-3,3) abgebildet... Also haben die Elemente -3 und 3 doch das Urbild 3?!?

13.04.2014, 19:05

Math1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen

Zitat:

Original von Mandy1986
Kannst du mir noch einmal auf die Sprünge helfen ob ich richtig bin? Oder wie das Gegenbeispiel aussieht? :-/

Es wäre schön, wenn du " -3 hat Urbild (3) " begründen könntest, dann seh ich auch den Denkfehler, denn das ist falsch. Was hast du dir dabei gedacht? Schreib mal den Gedankengang hin.

13.04.2014, 19:08

Math1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen

Zitat:

Original von Mandy1986
Naja Urbild (3) wird auf Bild (-3,3) abgebildet... Also haben die Elemente -3 und 3 doch das Urbild 3?!?

Den Satz verstehe ich nicht. Es ist $\begin{eqnarray*} f(-3)=f(3)=3 \end{eqnarray*}$ , aber nicht $\begin{eqnarray*} f(-3)=f(3)=-3 \end{eqnarray*}$ , was " -3 hat Urbild (3) " impliziert.

Lös dich mal von den begriffen Bild und Urbild: Kannst du ein $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ angeben, so dass $\begin{eqnarray*} f(z)=-3 \end{eqnarray*}$ ?

13.04.2014, 19:13

Mandy1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
ok

Also wir hatten ja ganz oben folgendes gesagt, was du für richtig bestimmt hattest:

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Urbild (1) = Bild {-1,1}
Urbild (2) = Bild {-2,2}
Urbild (3) = Bild {-3,3}

Da es dann für z.B. Urbild (1) = Bild {-1,1} ergibt, kann es nicht injektiv sein.

Da es aber für jedes Bild, z.B. Bild {-2,2} genau ein Urbild (2) gibt, ist es surjektiv

Wenn ich mir jetzt jedes Element im Wertebereich, einzeln nehmen muss, also -3 € Z, -2 € Z, -1 € Z, 0 € Z, 1 € Z, 2 € Z, 3 € Z

liegt z.B. das Element -3 € Z im Bild {-3,3} und hat dadurch Urbild (3)

Vielen vielen Dank nochmal das du dir hier die Mühe machst :-/

13.04.2014, 19:25

Mandy1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
In den Youtube Videos reden die immer von getroffen...

Wenn jedes Element im Wertebereich von einem Element im Definitionsbereich getroffen wird, ist die Abbildung Surjektiv.

Sprich

-3 wird von 3 getroffen
-2 wird von 2 getroffen
-1 wird von 1 getroffen
0 wird von 0 getroffen
1 wird von 1 getroffen
2 wird von 2 getroffen
3 wird von 3 getroffen

Um mal von Urbild und Bild wegzugehen....

Hilft dir das eher meinen Gedankengang zu verstehen? :-/

13.04.2014, 19:49

Math1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen

Zitat:

Original von Mandy1986
-3 wird von 3 getroffen

Nein, das ist falsch. Warum um alles in der Welt ist $\begin{eqnarray*} f(3)=-3 \end{eqnarray*}$ ?

13.04.2014, 21:12

Mandy1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Puh Math, also langsam verstehe ich das ganze hier nicht mehr... :-(

Laut deiner und meiner ersten Definition ist folgendes richtig:

Urbild (1) = Bild {-1,1}
Urbild (2) = Bild {-2,2}
Urbild (3) = Bild {-3,3}

So demnach werden aus dem Definitionsbereich ja alle positiven Zahlen in den Wertebereich abgebildet, und zwar sowohl die positive, als auch die negative Variante.

Somit ist die Abbildung also:

3 -> -3 (sprich 3 aus Urbild aka. Definitionsbereich zeigt auf -3 im Bild aka Wertebereich)

3 -> 3 (spreich 3 aus Urbild aka. Definitionsbereich zeigt auf 3 im Bild aka Wertebereich)

Definitionsbereich {0,1,2,3} (negative gibts hier ja nicht)
Wertebereich {-3,-2,-1,0,1,2,3} (hier gibts ja negative)

Hieraus würde also jedes Element im Wertebereich getroffen.... Sollte dem nicht so sein, müsste schon unsere anfängliche Beschreibung der Abbildung falsch sein....

Sollte ich hiermit nicht richtig sein tuts mir leid, dann will ich dich nicht weiter stören, dann suche ich anderweitig Hilfe :-(

13.04.2014, 21:21

Math1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen

Zitat:

Original von Mandy1986
Puh Math, also langsam verstehe ich das ganze hier nicht mehr... :-(

Laut deiner und meiner ersten Definition ist folgendes richtig:

Urbild (1) = Bild {-1,1}
Urbild (2) = Bild {-2,2}
Urbild (3) = Bild {-3,3}

Wenn schon, dann Urbild (1) = {-1,1}, aber ja, soweit richtig.

Zitat:

Original von Mandy1986
3 -> -3 (sprich 3 aus Urbild aka. Definitionsbereich zeigt auf -3 im Bild aka Wertebereich)

Das verstehe ich nicht! Wir reden von der Betragsfunktion. Diese bildet -3 auf 3 ab, und nicht etwa auf -3. verwirrt

verwirrt

Irgendwie behauptest du das aber immer wieder.
In deinem zweiten Beitrag hast du noch richtig gesagt: f(3) = 3. Wie kann dann "3 -> -3" gelten?

Hier nochmal eine Skizze:

Wie unschwer zu erkennen ist wird die -3 auf die 3 abgebildet. Es ist ferner Zu erkennen, dass negative Elemente auf der y-Achse kein urbild haben. Also ist diese Funktion nicht surjektiv.

Oder anders erklärt:

Zitat:

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Alle Zahlen unter 0 werden durch |z| = -z umgedreht sprich

f(-3) = 3
f(-2) = 2
f(-1) = 1

Dann die die größer gleich 0 sind bleiben gleich

f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 3

Fällt dir vielleicht auf, dass alle Zahlen auf positive Werte abgebildet werden? Fällt dir auf, dass es keine Zahl gibt, die auf einen negativen Wert abgebildet wird?

13.04.2014, 21:27

Mandy1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Ich hab gerade etwas ähnliches in einem anderen Eintrag gefunden...

threadid=488206

Die Aufgabe ist 100% identisch mit meiner, nur ist die gebildete Urbildmenge und Bildmenge genau andersrum...

Und somit ist die Bildmenge gemäß Abildungssvorschrift:

$\begin{eqnarray*} f(U) = \left\{0,1,2,4\right\} \end{eqnarray*}$

und die Urbilder sind:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(U) = \left\{ u \in \mathbb Z | f(u) \in U \right\} \end{eqnarray*}$

oder eben

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(U) = \left\{-4,-2,-1,0,1,2,4\right\} \end{eqnarray*}$

Bei mir hast du gesagt die Bildmenge wäre {-3,-2,-1,0,1,2,3} und die Urbildmenge wäre {0,1,2,3}

Bei Ihm ist die Bildmenge {0,1,2,3} und die Urbildmenge {-3,-2-,1,0,1,2,3}

Wenn ich das Ergebnis von ihm nehme liegst du auch wieder mit der Surjektivität richtig, allerdings ist dann die anfänglich von dir als richtig befundene Bildmenge und Urmenge laut meiner Definition falsch und muss so sein wie in dem Post von Johann2012

13.04.2014, 21:33

Math1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen

Zitat:

Original von Mandy1986

Und somit ist die Bildmenge gemäß Abildungssvorschrift:

$\begin{eqnarray*} f(U) = \left\{0,1,2,4\right\} \end{eqnarray*}$

und die Urbilder sind:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(U) = \left\{ u \in \mathbb Z | f(u) \in U \right\} \end{eqnarray*}$

oder eben

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(U) = \left\{-4,-2,-1,0,1,2,4\right\} \end{eqnarray*}$

Das ist ja soweit auch alles richtig.

Zitat:

Bei mir hast du gesagt die Bildmenge wäre {-3,-2,-1,0,1,2,3} und die Urbildmenge wäre {0,1,2,3}

Das ist falsch. Wo soll ich das behauptet haben?

13.04.2014, 21:36

Mandy1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Ok also zusammenfassend...

Wir hatten Urbildmenge und Bildmenge genau falsch rum im Kopf... Du lagst richtig, ich falsch... Ich hatte es mir falsch vorgestellt...

So Demnach ist es so der richtige Weg:

Urbild {-3,3} wird abgebildet auf Bild (3)
Urbild {-2,2} wird abgebildet auf Bild (2)
Urbild {-1,1} wird abgebildet auf Bild (1)
Urbild {0} wird abgebildet auf Bild (0)
Urbild {-1,1} wird abgebildet auf Bild (1)
Urbild {-2,2} wird abgebildet auf Bild (2)
Urbild {-3,3} wird abgebildet auf Bild (3)

Daraus ergibt sich die Urbildmenge: {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
und die Bildmenge: {0,1,2,3,...}

Da zwei Urbilder auf ein Bild zeigen z.B. Urbild {-3,3} zeigt auf Bild (3) ist die Funktion nicht injektiv....

Soweit richtig?

13.04.2014, 21:38

Mandy1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Sorry mein Fehler ich verbessre...

Da zwei Elemente aus der Urbildmenge auf ein Bild zeigen, z.B.

-3 -> 3
3 -> 3

ist die Abbildung nicht injektiv

Weg von Urbild und Bild...

13.04.2014, 21:39

Math1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen

Zitat:

Original von Mandy1986
Ok also zusammenfassend...

Wir hatten Urbildmenge und Bildmenge genau falsch rum im Kopf... Du lagst richtig, ich falsch... Ich hatte es mir falsch vorgestellt...

Wir hatten es falschrum? Wo genau hatte ich es falsch herum? böse

böse

Zitat:

Original von Mandy1986
So Demnach ist es so der richtige Weg:

Urbild {-3,3} wird abgebildet auf Bild (3)
Urbild {-2,2} wird abgebildet auf Bild (2)
Urbild {-1,1} wird abgebildet auf Bild (1)
Urbild {0} wird abgebildet auf Bild (0)
Urbild {-1,1} wird abgebildet auf Bild (1)
Urbild {-2,2} wird abgebildet auf Bild (2)
Urbild {-3,3} wird abgebildet auf Bild (3)

Daraus ergibt sich die Urbildmenge: {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
und die Bildmenge: {0,1,2,3,...}

Da zwei Urbilder auf ein Bild zeigen z.B. Urbild {-3,3} zeigt auf Bild (3) ist die Funktion nicht injektiv....

Soweit richtig?

Soweit richtig. Die Injektivität hatten wir aber dosch schon lange. Wir waren bei der Surjektivität.

13.04.2014, 21:41

Math1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen

Zitat:

Original von Mandy1986
Da zwei Elemente aus der Urbildmenge auf ein Bild zeigen, z.B.

-3 -> 3
3 -> 3

ist die Abbildung nicht injektiv

Auch das ist richtig. Hatten wir aber auch schon. Wir waren bei der Surjektivität.

13.04.2014, 21:52

Mandy1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Ok Math, sorry das war ein Missverständnis, ich hatte es mir einfach nur genau verkehrt herum vorgestellt...

So nun zur Surjektivität...

Der Wertebereich ist ja Z komplett...

Wertebereich Z ist also ebenfalls {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} wobei aber nur {0,1,2,3,...} "getroffen werden" sprich ein Urbild im Definitionsbereich der Abbildung haben... Und genau wie du mir versucht hast zu erklären, hat -3 , wie auch alle anderen negativen Elemente des Wertebereichs kein Urbild laut Funktionsbeschreibung....

Weil wie du schon sagst,

(Quasi)
nix -> -3
nix -> -2
nix -> -1

Das ist auch korrekt?

13.04.2014, 21:57

Math1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen

Zitat:

Original von Mandy1986
Wertebereich Z ist also ebenfalls {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} wobei aber nur {0,1,2,3,...} "getroffen werden" sprich ein Urbild im Definitionsbereich der Abbildung haben... Und genau wie du mir versucht hast zu erklären, hat -3 , wie auch alle anderen negativen Elemente des Wertebereichs kein Urbild laut Funktionsbeschreibung....

Ja super, da haben wir es ja Freude

Freude

13.04.2014, 22:10

Mandy1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Math du rettest mir echt den Tag, ganz ehrlich... Ich würde dir ja gerne auch irgendwo mal helfen können, aber ich glaube ich hab nix anzubieten :-)

Ich hab auch noch die zwei Teilaufgaben hier stehen, genau wie Johann aus dem Post...

Können wir das noch schnell zusammen machen? Ich glaube das geht jetzt auch schnell :-)

Teilaufgabe 1:
Alles gleich wie die ganze Zeit, nur statt Z die Menge U:= {-3,-2,-1,0,1,2,3} also fest so definiert mit genau diesen Elementen.

Bestimme f(U) := {f(u) : u € U} und die Menge der Urbilder der Elemente in f(U).

f(U) ist ja in diesem Fall wieder {0,1,2,3}

Und die Menge der Urbilder der Elemente in f(U) ist ja dann die Mächtigkeit von f(U) oder? Also $\begin{eqnarray*} |f(U)| \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

13.04.2014, 22:43

Math1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Ja, soweit ist es richtig.

13.04.2014, 23:44

Dopap

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wegen Sprachgebrauch:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{+} = \mathbb N = \{ 0,1,2,3 \dots \} \end{eqnarray*}$ ist die Wertemenge ( Bildmenge ) der Funktion

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist die Zielmenge der Funktion.

je nach dem was angegeben wurde ist die Funktion surjektiv oder nicht.

14.04.2014, 00:04

Mandy1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Dank dir Math, dann noch die letzte Teilaufgabe, danach hast du Ruhe vor mir :-) (fürs erste) :-)

2. Teilaufgabe

Gleiche Funktionsdefinition wie oben nur:

V = {-10,-5,0,10,15}.
W = Menge der Urbilder der Elemente in V unter f

Bestimme die Elemente in W und f(W) = {f(w) : w € W}.

Ok meine Lösung wäre hier:

W = {-10,-5,0,10,15} also = V, da ja alle Elemente als Urbilder herhalten

dann wieder

f(-10) = 10
f(-5) = 5
f(0) = 0
f(10) = 10
f(15) = 15

Demnach sind die Elemente in f(W)

f(W) = {0,5,10,15}

Das ist dann auch richtig oder?

Wäre cool wenn du mir heute oder oh ist ja schon morgen, oder morgen hier noch kurz ne Info gibst ob ich das richtig definiert habe? :-)

grüße

Mandy

14.04.2014, 09:41

Math1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Ja, richtig Freude

Freude

14.04.2014, 10:29

Mandy1986

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RE: Injektivität und Surjektivität untersuchen
Math nochmal vielen vielen Dank für deine Hilfe!!! :-)

grüße Mandy

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