Zentraler Grenzwertsatz Beweis

13.04.2014, 17:32

franzü78

Zentraler Grenzwertsatz Beweis

Meine Frage:
Moin,
ich habe ein Aufgabe, bei der ich überhaupt nicht weiterkomme -.-

Meine Ideen:
Ich soll zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P_{N}(s) = \frac{1}{2^{N}} \begin{pmatrix} N \\ 0,5 (N+S) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für große N gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{N2\pi} } e^{-0,5 \frac{s²}{N} } \end{eqnarray*}$ ist. Also muss ich die linke Formel ja im Prnzip nur so umstellen, dass man sieht, dass die für N gegen unendlich gegen die rechte konvergiert.
(Es geht darum, dass sich ein Teilchen mit N Schritten entlang der x-Achse bewegt; s ist die Position des Teilchens, und P(s) also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich das Teilchen S Schritte vom Nullpunkt entfernt befindet).

Naja, im Prinzip ist einfach, aber ich hänge bei der Rechnung einfach total fest.
Ich habe erst mal die erste Formel logarithmiert; das sieht dann nach einigen Umformungen so aus:
$\begin{eqnarray*} -Nln2 + lnN! - ln(\frac{N+S}{2})! - ln(\frac{N-S}{2})! = -Nln2 + (N+1/2)lnN -N + 1/2ln\pi - ln(\frac{N+S}{2})!- ln(\frac{N-S}{2})! \end{eqnarray*}$
Mit der Stirling-Näherung.
Nun weiß ich nicht, wie ich weitermachen soll. Die Stirling-Näherung könnte ich ja auch noch bei dem Term $\begin{eqnarray*} - ln(\frac{N+S}{2})! \end{eqnarray*}$ machen, bei dem mit N-S geht's nicht, weil das Argument viel größer als 1 sein muss und S ja auch gleich N sein kann.
Die Näherung bei dem ersten Term bringt mir auch überhaupt nichts. Ist das so überhaupt die richtige Richtung?
Irgendwo soll ich noch den Logarithmus entwickeln, ich habe aber keine Ahnung, wo und wie. :/
Kann mir da vielleicht jemand einen Hinweis geben??

13.04.2014, 18:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von franzü78
und S ja auch gleich N sein kann.

In dem Bereich ist die Normalverteilungsnäherung grottenschlecht, de facto nicht annehmbar. unglücklich

Es sollte als Zusatzvoraussetzung $\begin{eqnarray*} |s| \ll N \end{eqnarray*}$ mit aufgenommen werden - eine ziemliche Unterlassung, sollte das nicht (in ähnlicher Form) der Fall sein.

Zitat:

Original von franzü78
Ich soll zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P_{N}(s) = \frac{1}{2^{N}} \begin{pmatrix} N \\ 0,5 (N+S) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für große N gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{N2\pi} } e^{-0,5 \frac{s²}{N} } \end{eqnarray*}$ ist.

gleich stimmt eh nicht, es ist eine Näherung. Wenn man einen Beweis will, dann sollte man die Behauptung auch ordentlich fassen.

13.04.2014, 20:27

franzü78

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hmm ... es wurde extra gesagt, dass man nicht einfach annehmen darf, dass S < N
:/.
Ich weiß nicht, was ich machen soll ...

13.04.2014, 22:06

HAL 9000

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Ja herrje, hast du denn mal versucht, selbst $\begin{eqnarray*} s=N \end{eqnarray*}$ einzusetzen:

Da ist $\begin{eqnarray*} P_N(N) = \frac{1}{2^N} \end{eqnarray*}$ , während laut anderer Formel

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{N2\pi}} e^{-0.5N}\approx \frac{1}{\sqrt{N2\pi}} \cdot \frac{1}{1.65^N} \end{eqnarray*}$

herauskommt ... siehst du denn nicht, wie sich das für große $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ "auseinanderbewegt" ??? Von guter Approximation keine Spur in diesem Bereich.

P.S.: Ganz zu schweigen von $\begin{eqnarray*} s>N \end{eqnarray*}$ , dort ist $\begin{eqnarray*} P_N(s)=0 \end{eqnarray*}$ , was in der "Approximation" dann natürlich nicht der Fall ist.

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