Einfacher(?) Grenzwert

13.04.2014, 20:05

Orkus

Einfacher(?) Grenzwert

Sei $\begin{eqnarray*} \alpha:=2+\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(\alpha^n-\lfloor \alpha^n\rfloor\right)=1 \end{eqnarray*}$

Das soll bewiesen werden.
Eigentlich sieht das ja ziemlich einfach aus, ist es vielleicht auch, ich kriegs aber nicht hin.

14.04.2014, 10:38

Gastritis

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Einfacher(?) Grenzwert
Kleiner Tipp:

Setze $\begin{eqnarray*} \beta:=2-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und zeige zunächst:

$\begin{eqnarray*} \alpha^n+\beta^n=\lfloor \alpha^n\rfloor +1 \end{eqnarray*}$

und folgere daraus die Behauptung.

15.04.2014, 14:03

Orkus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Einfacher(?) Grenzwert
Danke aber das hilft mir auch nicht weiter.
Immerhin hab ich mit Excel gesehen das es scheinbar stimmt.
Aber beweisen???

15.04.2014, 14:56

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Orkus
Danke aber das hilft mir auch nicht weiter.

Auf der Hitliste der dummen Sprüche hier im Forum belegt der ganz klar einen der Spitzenplätze. unglücklich

Einen besseren Tipp als den von Gastritis kann es zu der Aufgabe eigentlich kaum geben, deswegen ist es jammerschade, dass du dir nicht die Mühe machst, mal genauer drüber nachzudenken. Finger2

Ich versuche, den Tipp mal etwas anders zu formulieren:

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} g_n:=\alpha^n + \beta^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ stets eine ganze Zahl ist - das geht z.B. unter Anwendung des binomischen Satzes. Zusammen mit $\begin{eqnarray*} 0<\beta<1 \end{eqnarray*}$ folgt dann, dass $\begin{eqnarray*} \lfloor \alpha^n \rfloor = g_n-1 \end{eqnarray*}$ ist und dass folglich

$\begin{eqnarray*} \alpha^n-\lfloor \alpha^n \rfloor = 1-\beta^n \end{eqnarray*}$

ist, woraus die Behauptung folgt.

Neue Frage »

Antworten »

Einfacher(?) Grenzwert

Verwandte Themen