Äquivalenzumformung n-te Wurzel

14.04.2014, 10:32	Flow1410	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzumformung n-te Wurzel Meine Frage: Ich würde gerne auf algebraischem Weg, d.h. nur durch Äquivalenzumformungen, folgende Gleichungen lösen: $\begin{eqnarray} x^{8} = 1, x^{7} = 1, x^{7} = -1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die Lösungsmengen sind mir natürlich klar. Ich wüsste nur gerne, ob und wie ich das durch Umformen einsehen kann. In der 9.Klass-Mathematik darf ich ja z.B. auch keine höheren Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen. Was mache ich dann etwa bei der letzten Gleichung?
14.04.2014, 10:37	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzumformung n-te Wurzel Ungerade Wurzeln darf man sehr wohl ziehen: $\begin{eqnarray} (-1)^{1/3}=-1 \end{eqnarray}$
14.04.2014, 10:41	Flow1410	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzumformung n-te Wurzel Im bsv-Mathebuch der 9ten Klasse steht explizit, dass $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{-8} \end{eqnarray}$ nicht definiert ist, obwohl (-2)^3=-8 edit(kgV-14.4,10.50): Latex repariert
14.04.2014, 10:55	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzumformung n-te Wurzel Wurzeln aus negativen Zahlen Die Behandlung von Wurzeln aus negativen Zahlen ist nicht einheitlich. Es gilt beispielsweise (-2)^3=-8\,, und -2 ist die einzige reelle Zahl, deren dritte Potenz -8 ist. Allgemein ergeben sich für ungerade Potenzen negativer Zahlen wieder negative Zahlen. Bezüglich der ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen werden folgende Positionen vertreten: Wurzeln aus negativen Zahlen sind generell „verboten“. Beispielsweise ist $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{-8} \end{eqnarray}$ also undefiniert. Die Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray} x^3 = -8 \end{eqnarray}$ wird geschrieben als $\begin{eqnarray} x = -\sqrt[3]{8} \end{eqnarray}$ . Wurzeln aus negativen Zahlen sind erlaubt, wenn der Wurzelexponent eine ungerade Zahl ist (3, 5, 7, …). Für ungerade Zahlen 2n+1 gilt generell $\begin{eqnarray} \sqrt[2n+1]{-a}=-\sqrt[2n+1]{a}. \end{eqnarray}$ Diese Festlegung ist mit manchen Eigenschaften der Wurzeln, die für positive Radikanden gelten, nicht vereinbar. Beispielsweise ist $\begin{eqnarray} -2=\sqrt[3]{-8}\ne\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=+2. \end{eqnarray}$ Wurzeln zu geraden Exponenten aus negativen Zahlen können keine reellen Zahlen sein, weil gerade Potenzen reeller Zahlen nie negativ sind. Es gibt keine reelle Zahl x, sodass x^2=-1, somit kann man auch keine Wurzel x=\sqrt[2]{-1} finden, die in den reellen Zahlen liegt. Der Bedarf für Wurzeln aus negativen Zahlen führte zur Einführung der komplexen Zahlen;[2] allerdings gibt es auch im Bereich der komplexen Zahlen Wurzeln aus negativen Zahlen nur mit gewissen Einschränkungen, siehe unten.
14.04.2014, 11:02	Flow1410	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich hätte nicht gedacht, dass das so ein "unsauberes" Feld ist. Also nach unserer "Verbotsauffassung" wäre die Lösung natürlich immer noch $\begin{eqnarray} x^{7} = -1 \Rightarrow x = -\sqrt[3]{1} = -1 \end{eqnarray}$ , aber ich kann das nicht logisch durch Umformung lösen, sondern muss das einfach erkennen, dass es genau eine Lösung gibt und die genau -1 ist. Richtig? Danke für deine Mühe.
14.04.2014, 11:16	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleiner Tippfehler deinerseits. Es muss lauten: $\begin{eqnarray} \sqrt[7]{-1}=-1 \end{eqnarray}$
Anzeige

14.04.2014, 12:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, auch auf Wurzeln für nur nichtnegative Radikanden kann man sich einstellen: Multipliziere die Gleichung $\begin{eqnarray} x^7=-1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (-1)^7=-1 \end{eqnarray}$ , dann gilt wegen $\begin{eqnarray} (-1)^7\cdot x^7 = ((-1)\cdot x)^7 = (-x)^7 \end{eqnarray}$ ja $\begin{eqnarray} (-x)^7 = 1 \end{eqnarray}$ . Jetzt kann die siebte Wurzel auch in dem "einschränkenden Rahmen" gezogen werden.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »