Körper / Matrizen Frage

14.04.2014, 10:53

Kira85

Körper / Matrizen Frage

Meine Frage:
Hallo liebes Forum, ich hab hier eine Selbsttestaufgabe aus dem Netz und dachte eigentlich ich hätte soweit alles verstanden, aber hänge doch an einer Aufgabe, weil es mich ein bisschen verwirrt.

Deshalb wollte ich euch mal um Hilfe bitten. (Ich muss dazu sagen ich studiere erst seit zwei Wochen :-)

Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ ein Körper.

Weiter sei $\begin{eqnarray*} A \in M_{nn} (\mathbb K) \end{eqnarray*}$ eine Matrix, dass AB = BA für alle $\begin{eqnarray*} B \in M_{nn} (\mathbb K) \end{eqnarray*}$ gilt.

Beweise A = aIn für ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb K \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wenn ich es richtig verstehe ist das kartesische Produkt aus den Matrizen AB = BA ja gleich... Deshalb lasse ich B mal außen vor, das scheint nur zur Erschwerung des Verständnisses zu dienen oder?

Was hat es dann mit A = aIn für ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ auf sich? Wie kann ich hier beweise, oder was genau soll ich hier beweisen? Bzw. liege ich überhaupt richtig?

Ich komm hierbei irgendwie komplett durcheinander :-/

Kann mir hier jemand erklären was gemeint ist, bzw. wie ich vorgehen soll? Evtl. brauche ich ja nur nen Denkanstoß... Wäre echt nett.

Danke schonmal für eure Hilfe!!!

grüße Kira

14.04.2014, 11:45

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Wenn ich es richtig verstehe ist das kartesische Produkt aus den Matrizen AB = BA ja gleich... Deshalb lasse ich B mal außen vor, das scheint nur zur Erschwerung des Verständnisses zu dienen oder?

Das ist ein Produkt, kein kartesisches Produkt. Kartesisches Produkte bildet man von Mengen. Und das B kann hier nicht wegggelassen werden.

Zitat:

Weiter sei $\begin{eqnarray*} A \in M_{nn} (\mathbb K) \end{eqnarray*}$ eine Matrix, dass AB = BA für alle $\begin{eqnarray*} B \in M_{nn} (\mathbb K) \end{eqnarray*}$ gilt.

In Worten: A ist eine Matrix die mit allen anderen Matrizen kommutiert, d.h. für jede Matrix B gilt AB=BA.

Nun gilt es herauszufinden wie dieses A aussehen kann.
Es ist zu beweisen, dass A nur so aussehen kann:

Zitat:

Beweise A = aIn für ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb K \end{eqnarray*}$

d.h. A ist eine Vielfache der Einheitsmatrix,m.a.W. auf der Diagonale steht a sonst 0 bei allen anderen Einträgen..

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