statistik auf Suffizienz prüfen

14.04.2014, 12:06	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
statistik auf Suffizienz prüfen Meine Frage: Hallo Leute, ich würde gerne die folgenden Aufgabe lösen: Seien $\begin{eqnarray} X_1, \dots, X_n \end{eqnarray}$ unabhängige relle Zufallsvariablen, die auf $\begin{eqnarray} [0, \theta] \end{eqnarray}$ gleichverteilt sind. $\begin{eqnarray} \theta > 0 \end{eqnarray}$ Ist die Statistik: $\begin{eqnarray} T(\mathbb R^n, \mathcal B^n) \to (\mathbb R, \mathcal B) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T(x_1, \dots, x_n ) = \max_{i=1, \dots, n} \end{eqnarray}$ suffizient für $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Also ich mache das zum ersten Mal. Ich weiß, dass ich zeigen muss, dass die bedingte Verteilung: $\begin{eqnarray} P(X\|T(X)) \end{eqnarray}$ unabhängig ist von $\begin{eqnarray} \theata \end{eqnarray}$ , aber wie stelle ich das an? Wahrscheinlich einfach mal die Verteilung aufstellen, aber da hapert es gerade leider schon.. Kann mir jemand helfen?
14.04.2014, 13:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst: Mit $\begin{eqnarray} \max_{i=1, \dots, n} \end{eqnarray}$ meinst du vermutlich $\begin{eqnarray} \max_{i=1, \dots, n} x_i \end{eqnarray}$ . Hmm, entweder kennst du schon die Neyman-Charakterisierung für suffiziente Statistiken, dann ist die Geschichte hier angenehm schnell zu erledigen. Ansonsten musst du wohl in den sauren Apfel beißen, und die bedingte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(X\leq x \mid T(X)=t) \end{eqnarray}$ (mit $\begin{eqnarray} X,x \end{eqnarray}$ hier als Vektoren, $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ als reelle Zahl) konkret ausrechnen. Was nicht ganz einfach ist, da hier eine stetige Verteilung vorliegt und man daher nicht einfach $\begin{eqnarray} P(X\leq x \mid T(X)=t) \stackrel{?}{=} \frac{P(X\leq x,T=t)}{P(T=t)} \end{eqnarray}$ rechnen kann - "0/0" lässt grüßen.

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