Singuläre Punkte Potenzreihe

14.04.2014, 16:57

10001000Nick1

Singuläre Punkte Potenzreihe

Meine Frage:
Hallo,
ich möchte zeigen, dass die komplexe Potenzreihe $\begin{eqnarray*} g(z):=\sum_{n=0}^\infty z^{2^n} \end{eqnarray*}$ auf dem Rand ihres Konvergenzkreises nur singuläre Punkte hat.
(Ist $\begin{eqnarray*} g:U\to\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ holomorph, so heißt $\begin{eqnarray*} z_0\in\partial U \end{eqnarray*}$ singulärer Punkt von g, falls es für keine offene Kugel V um $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ ein holomorphes $\begin{eqnarray*} \tilde{z}:V\to\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \tilde{z}|_{U\cap V}=z|_{U\cap V} \end{eqnarray*}$ )

Meine Ideen:
Ich habe die Reihe erstmal etwas anders geschrieben: $\begin{eqnarray*} g(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k z^k \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_k:=\begin{cases} 1 , \text{ falls } k=2^n \text{ für ein } n\in\mathbb{N} \\ 0 , \text{ sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Daraus kann man jetzt den Konvergenzradius bestimmen: $\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}}=\frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}a_k}=\frac{1}{1}=1 \end{eqnarray*}$ .

Ich muss also zeigen, dass jedes $\begin{eqnarray*} z_0\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ ein singulärer Punkt von g ist.

Wie kann ich das machen?

Danke für Tipps! smile

14.04.2014, 17:13

dr.morrison

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Hi!

Soweit ich das sehe, wäre ein erster Anfang sich zu überlegen, wie sich die Potenzreihe für Elemente des Einheitskreises verhält, z.B. mit der Standardparamterisierung über die Exponentialfunktion, $\begin{eqnarray*} z=e^{i\theta} \end{eqnarray*}$ . Danach muss man sich überlegen, dass holomorphe Funktionen lokal als konvergente (!) Potenzreihen darstellbar sind. Das sollte zum Ziel führen.

14.04.2014, 18:11

10001000Nick1

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Also: $\begin{eqnarray*} g(z):=\sum_{n=0}^\infty z^{2^n}=\sum_{n=0}^\infty (e^{i\varphi})^{2^n}=\sum_{n=0}^\infty e^{i\varphi\cdot 2^n} \end{eqnarray*}$

Diese Reihe konvergiert doch nicht, oder? Weil $\begin{eqnarray*} e^{i\varphi\cdot 2^n}\not \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ . Kann man daraus schon schließen, dass $\begin{eqnarray*} e^{i\varphi} \end{eqnarray*}$ ein singulärer Punkt ist?

Dass eine holomorphe Funktion in eine Potenzreihe entwickelt werden kann, habe ich zwar schonmal gehört, bewiesen haben wir es aber noch nicht.

14.04.2014, 18:36

Che Netzer

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Zeige für alle Punkte einer gewissen dichten Teilmenge des Einheitskreises: Nähert man sich radial von innen an diese an, so geht $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich.
(und überlege dir, wieso dies ausreicht)

Dass die Reihe auf dem Rand nicht konvergiert, hat gar nichts zu heißen. Man betrachte $\begin{eqnarray*} \frac1{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n \end{eqnarray*}$ . Auch diese Reihe konvergiert nirgens auf dem Rand des Einheitskreises, ist aber darüber hinaus fortsetzbar.

Übrigens sind in dem Zusammenhang auch die Lückensätze interessant.

15.04.2014, 17:44

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Che Netzer
Zeige für alle Punkte einer gewissen dichten Teilmenge des Einheitskreises: Nähert man sich radial von innen an diese an, so geht $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich.

OK, ich denke, das habe ich jetzt hingekriegt. (Mit der dichten Teilmenge meinst du doch bestimmt $\begin{eqnarray*} \{e^{i\varphi}|\varphi\in\mathbb{Q}\} \end{eqnarray*}$ )

Zitat:

Original von Che Netzer
(und überlege dir, wieso dies ausreicht)

Da würde ich folgendes als Begründung angeben: Weil ja die Teilmenge dicht in dem Einheitskreis liegt, liegen ja in jeder offenen Umgebung eines Elements des Einheitskreises auch Elemente dieser Teilmenge. Deswegen kann es auf keiner offenen Umgebung um ein Element des Einheitskreises eine holomorphe Funktion geben (weil ja $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich geht bei Annäherung an die Punkte der Teilmenge).

Noch eine Frage: Ich habe diese PDF gefunden; da wird auf den Seiten 5 bzw. 6 gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty z^{n!} \end{eqnarray*}$ auf dem Rand des Konvergenzkreises nur singuläre Punkte hat. Da steht dann $\begin{eqnarray*} z^*=\exp\left(2\pi i\frac{p}{q}\right), p, q\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Wiese definiert man denn nicht $\begin{eqnarray*} z^*=\exp\left(i\frac{p}{q}\right), p, q\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Und warum ist dann $\begin{eqnarray*} \exp\left(2\pi i\frac{p}{q}n!\right)=1 \end{eqnarray*}$ ?

15.04.2014, 17:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Und warum ist dann $\begin{eqnarray*} \exp\left(2\pi i\frac{p}{q}n!\right)=1 \end{eqnarray*}$ ?

Nicht für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ - aber zumindest für alle $\begin{eqnarray*} n\geq q \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

15.04.2014, 18:06

10001000Nick1

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OK, ergibt Sinn. smile

Hat man deswegen auch $\begin{eqnarray*} z^*=\exp\left(2\pi i\frac{p}{q}\right), p, q\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ definiert? Damit das dann 1 ergibt?
Denn $\begin{eqnarray*} z^*=\exp\left(i\frac{p}{q}n!\right) \end{eqnarray*}$ würde nicht so schön "wegfallen".

Mir ist gerade noch etwas aufgefallen: Kann es sein, dass die Potenzgesetze nicht mehr im Komplexen gelten? Z.B. $\begin{eqnarray*} (a^m)^n=a^{mn} \end{eqnarray*}$ . Dann wäre ja $\begin{eqnarray*} -1=e^{\pi i}=e^{2\pi i\cdot \frac{1}{2}}\stackrel{?}{=}(e^{2\pi i})^\frac{1}{2}=1^\frac{1}{2}=1 \end{eqnarray*}$ .

15.04.2014, 18:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Kann es sein, dass die Potenzgesetze nicht mehr im Komplexen gelten?

Das kommt auf den Parameterbereich an:

$\begin{eqnarray*} (z^m)^n = z^{mn} \end{eqnarray*}$ ist für alle komplexen $\begin{eqnarray*} z\neq 0 \end{eqnarray*}$ sowie ganzzahligen $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ nach wie vor gültig - das ist in deinem Beispiel natürlich nicht mehr der Fall, dann kann es eben schon schief gehen. Augenzwinkern

15.04.2014, 18:49

Che Netzer

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
OK, ich denke, das habe ich jetzt hingekriegt. (Mit der dichten Teilmenge meinst du doch bestimmt $\begin{eqnarray*} \{e^{i\varphi}|\varphi\in\mathbb{Q}\} \end{eqnarray*}$ )

Ich dachte eher an diejenigen rationalen Zahlen, deren Nenner (meinetwegen in gekürzter Darstellung) eine Zweierpotenz ist. Also gerade diejenigen $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ , für welche $\begin{eqnarray*} q2^n \end{eqnarray*}$ irgendwann ganzzahlig ist.
Und die werden dann noch mit den Faktor $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ versehen, bevor sie in den Exponenten hinters $\begin{eqnarray*} \mathrm i \end{eqnarray*}$ kommen.

Wäre der Exponent $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ , so könnte man natürlich alle $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\mathrm i\pi\phi} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ zur dichten Teilmenge wählen.

17.04.2014, 17:08

10001000Nick1

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Also wird $\begin{eqnarray*} e^{i\pi\frac{p}{2^k}2^n}, p, k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ irgendwann konstant 1 (wenn $\begin{eqnarray*} n>k \end{eqnarray*}$ ) und deswegen geht g gegen Unendlich.

OK, danke für eure Hilfe! Wink

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