Integration durch Substitution

14.04.2014, 17:32	Nenichtdumathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Substitution Meine Frage: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{(2+x^2)x^3}{(1+x^2)^3} dx \end{eqnarray}$ Substitution mit u= 1+x^2 Meine Ideen: So ich hab ein Ergebnis, aber diese ist nicht dieselbe wie bei dein Integralrechner. 1.) Zuerst habe ich u abgeleitet ..u´= 2x Danach du gebildet : du = 2x dx ....1/2du = x dx 2.) Jetzt ein Schritt mit dem ich etwas unsicher bin, ich habe (1/2 du = x dx) hoch 3 genommen, sodass ich...1/8 = x^3 dx erhalten habe. 3.) Neues int\ gebildet: $\begin{eqnarray} \frac{1}{8} \int \frac{(1+u)}{u^3} du \end{eqnarray}$ Den 2. Schritt habe ich gemacht, um das x^3 raus zu "subtrahieren" 4.) Hab das Integral als Summe zweier Integrale aufgeschrieben: 1/8 ( $\begin{eqnarray} \ \int \frac{(1)}{u^3} du \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \ \int \frac{(u)}{u^3} du \end{eqnarray}$ ) 5.) Die Integrale gelöst, sodass meine Lösung wäre.. $\begin{eqnarray} \frac{1}{8} \left(- \frac{1}{2u^2} - \frac{1}{u} \right)+ C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{8u} \left(- \frac{1}{2u} - 1 \right)+ C \end{eqnarray}$ 6.) u durch 1+x^2 ersetzen So habe ich versucht es zu lösen. Bin mir ziemlich unsicher bei Schritt 2)
14.04.2014, 17:51	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration durch Substitution also ich bin auf $\begin{eqnarray} \frac{1}{2 } \int \frac{u^2 -1}{u^3} \, du \end{eqnarray}$ gekommen Ersetze zuerst $\begin{eqnarray} dx= \frac{du}{2x } \end{eqnarray*}$ kürze dann , und ersetze das x durch u .
14.04.2014, 18:54	keineAhnungehochx	Auf diesen Beitrag antworten »
danke erstmal... hab es gemacht wie oben vorgeschlagen, und konnte dann dadurch x^2 durch u-1 ersetzen. Bin danach auch auf die gleiche Lösung gekommen. Also meine Stammfunktion lautet dann: 1/2 ( ln(u) + 1/2*u^2) und jetzt nur noch u wieder durch 1+x^2 ersetzen. Hoffe ist Richtig.
14.04.2014, 20:14	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut , das ist richtig

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