Beschränktheit der Grenzfunktion

15.04.2014, 11:17

Lynn2

Beschränktheit der Grenzfunktion

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge beschränkter Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n : I \rightarrow R \end{eqnarray*}$ auf einem Intervall I. Zeigen Sie: Ist die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergent gegen f, dann ist f beschränkt.

Finden Sie ein Beispiel einer punktweise konvergenten Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ beschränkter Funktionen auf $\begin{eqnarray*} I = [0,1] \end{eqnarray*}$ , deren Limes nicht beschränkt ist.

Meine Ideen:
Leider weiß ich nicht, wie ich da am besten anfangen kann. Ich würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könntet.

15.04.2014, 13:33

dr.morrison

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Gleichmaessige Konvergenz bedeutet lediglich Konvergenz bezueglich der Supremumsnorm. Nun rekapituliere den Beweis, warum konvergente Folgen in den reellen Zahlen beschraenkt sind und adaptiere ihn.

Alles Liebe, dr.morrison

15.04.2014, 21:22

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von dr.morrison
Supremumsnorm

Dies hatten wir leider noch nicht bzw. haben wir nicht behandelt. Ich weiß nur, dass eine Norm existiert, jedoch habe ich damit noch nicht weiter zu tun gehabt.

15.04.2014, 21:34

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beschränktheit der Grenzfunktion

Zitat:

Original von Lynn2
Zeigen Sie: Ist die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergent gegen f, dann ist f beschränkt.

Mir ist nicht bewusst, warum f beschränkt sein sollte und wie ich das zeigen soll.
Vielleicht kann mir jemand bitte den Sachverhalt etwas näher bringen. Augenzwinkern

16.04.2014, 09:48

Nofeykx

Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibst du dir bitte einmal die Definition der glm. Konvergenz hin?

Eigentlich solltest du es dann sehen, der Beweis ist wirklich sehr einfach, weshalb sich kaum Tipps geben lassen.

16.04.2014, 16:04

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann gleichmäßig gegen f, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup_{x\in D_f} \left|f_n(x)-f(x)\right|=0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n \in \mathbb N }: D \rightarrow R \end{eqnarray*}$ .

Das ist meine Definition, doch leider erschließt sich mir daraus nicht, warum f beschränkt ist. unglücklich

16.04.2014, 16:14

Nofeykx

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte hierauf hinaus (was natürlich äquivalent zu deiner Definition ist)

$\begin{eqnarray*} \forall\epsilon >0 \exists {n_0\in\mathbb N}\forall n\geq n_0 \forall x\in I: |f_n(x)-f(x)| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Du kannst dir nun einfach zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \epsilon = 1 \end{eqnarray*}$ wählen. Die glm. Konvergenz gibt dir dann also $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} x\in I \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} |f_{n_0}(x)-f(x)| < 1 \end{eqnarray*}$ .

Siehst du es damit?

16.04.2014, 16:40

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Abstand der Funktionsfolge zur Grenzfunktion ist so gering, dass die Grenzfunktion ebenfalls beschränkt ist.

Ist es das, was ich daraus ablesen soll?

16.04.2014, 16:44

Nofeykx

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Art.
Man pickt sich ein spezielles Folgenglied raus, nämlich $\begin{eqnarray*} f_{n_0} \end{eqnarray*}$ . Diese ist beschränkt und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ weicht höchstens um 1 davon ab.

16.04.2014, 16:52

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

Bezieht sich die Beschränktheit eigentlich auf den "y-Wert" oder eher auf den "x-Wert"? Nicht, dass ich es falsch verstehe.

16.04.2014, 18:02

Nofeykx

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst nachschlagen, was es für eine Funktion heißt, beschränkt zu sein..

16.04.2014, 18:55

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, es bezieht sich auf den x-Wert.

Zitat:

Original von Nofeykx

$\begin{eqnarray*} \forall\epsilon >0 \exists {n_0\in\mathbb N}\forall n\geq n_0 \forall x\in I: |f_n(x)-f(x)| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Du kannst dir nun einfach zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \epsilon = 1 \end{eqnarray*}$ wählen. Die glm. Konvergenz gibt dir dann also $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} x\in I \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} |f_{n_0}(x)-f(x)| < 1 \end{eqnarray*}$ .

Daraus sehe ich also nun, dass der x-Wert der Funktionenfolge auch für die Grenzfunktion gelten muss bzw. eingesetzt werden muss. Oder wie darf ich das verstehen? Aber was hat es dann mit der auf sich?

16.04.2014, 20:25

Nofeykx

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid, ich habe keine Ahnung, was du mit dem letzten Beitrag sagen möchtest.

16.04.2014, 20:38

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

Das war ein Versuch den Beweis von oben (siehe Zitat) von dir zu deuten. Leider gelingt mir das nicht so gut. Kannst du mir vielleicht helfen? Gott

18.04.2014, 10:35

dr.morrison

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nofeykx

$\begin{eqnarray*} \forall\epsilon >0 \exists {n_0\in\mathbb N}\forall n\geq n_0 \forall x\in I: |f_n(x)-f(x)| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Du kannst dir nun einfach zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \epsilon = 1 \end{eqnarray*}$ wählen. Die glm. Konvergenz gibt dir dann also $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} x\in I \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} |f_{n_0}(x)-f(x)| < 1 \end{eqnarray*}$ .

Stelle nun wie folgt um: $\begin{eqnarray*} \forall x\in I \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} f(x)| < 1+|f_{n_{0}}(x)| \end{eqnarray*}$ .

Was sagt das Dir?

Neue Frage »

Antworten »

Beschränktheit der Grenzfunktion

Verwandte Themen