DGL Abschätzung (?)

15.04.2014, 17:12

Trinitro6

RE: DGL Abschätzung (?)

Hi.
Ich habe jetzt eine neue Vorlesung über DGL und habe ein bisschen Probleme mit der ersten Übung. Also:
gegeben ist die DGL $\begin{eqnarray*} y'=t-y^{2} \end{eqnarray*}$

Es sei y eine Lösung im Intervall $\begin{eqnarray*} [0;\infty ) \end{eqnarray*}$ mit Anfangswert y(0)=0. Man zeige
1) $\begin{eqnarray*} y(t) \leq \sqrt{t} \end{eqnarray*}$ für alle t >=0
2) $\begin{eqnarray*} y(t)\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle t >=0

In der Aufgabe davor habe ich schon das Richtungsfeld zur DGL gezeichnet. Leider habe ich jetzt keine Ahnung wie ich Ansetzen muss. Muss ich das evtl nach oben und unten abschätzen, und wenn ja wie?
Danke schonmal für die Hilfe =)

Zwei Beiträge zusammengefasst, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen

Kann ich das evtl so machen:
Umstellen ergibt ja $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{t-y'} \end{eqnarray*}$ . Aufgrund des Werebereichs der Wurzel (t-y'>=0) ist auch y>=0.
Für den Anfangswert y(0)=0 ist auch y'(0)=0 woraus für das angegebene Intervall y(t)<= $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{t} \end{eqnarray*}$ folgt.

15.04.2014, 17:42

tmo

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Nein, so geht das nicht.

Eher so:

Angenommen es gibt kein $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(t_1) > \sqrt{t_1} \end{eqnarray*}$ .

Wähle nun $\begin{eqnarray*} t_0 < t_1 \end{eqnarray*}$ maximal mit $\begin{eqnarray*} y(t_0) \leq \sqrt{t_0} \end{eqnarray*}$ (Wegen der Stetigkeit existiert so ein $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} y(t_0)=t_0 \end{eqnarray*}$ ).

Nun gilt $\begin{eqnarray*} y(t_1) = y(t_0) + \int_{t_0}^{t_1} (t-y^2(t)) dt \end{eqnarray*}$ . Folgere einen Widerspruch.

Die zweite Aussage folgt direkt aus der Ersten.

15.04.2014, 18:31

trinitro6

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Hi,
danke für die Anwort. Leider kann ich damit nicht wirklich was anfangen, wir haben hheute die Integralgleichung erst angesprochen. (Es muss also einen anderen Weg geben, das zu lösen, weil das Übungsblatt schon etwas älter ist). Könntest du mir bitte erklären worauf du hinaus willst und wo man die Anfangsbedingung benutzt?

15.04.2014, 18:58

tmo

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Zitat:

Original von trinitro6
wir haben hheute die Integralgleichung erst angesprochen

Das ist kein Hexenwerk, sondern der Hauptsatz aus Ana1. Den kennst du schon viel länger als seit heute.

Die Anfangsbedingung geht natürlich in die Existenz des $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ ein.

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