fixpunkt streng monotone funktion

15.04.2014, 21:04

Bocks

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fixpunkt streng monotone funktion

sei a, b element R
a<b f geht von [a,b] nach [a,b] und f streng monoton
und es gilt f(a)>a und f(b)<b

wegen [a,b] nach [a,b] folgt f(a)>_a sollte a=f(a) dann ist a
fixpunkt, deshalb wähle a<f(a) . damit ist die menge M aller x
mit x<f(x) nicht leer und wir haben eine nach oben beschränkte menge
->es existiert ein sup.
wir wählen das sup(x)=x1
d.h es gilt x<_f(x1)
doch wie zeige ich dass f(x1)=x1?

15.04.2014, 21:11

Bocks

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die augabenstellung vergessen Big Laugh

Big Laugh

Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt besitzt.

15.04.2014, 21:28

10001000Nick1

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Nimm an, dass $\begin{eqnarray*} x_1:=\sup\{x\in[a,b]|x\textcolor{red}{\leq}f(x)\}<f(x_1) \end{eqnarray*}$ , das kannst du zum Widerspruch führen.

Rot: Geändert

15.04.2014, 21:41

Bocks

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Nimm an, dass $\begin{eqnarray*} x_1:=\sup\{x\in[a,b]|x<f(x)\}<f(x_1) \end{eqnarray*}$ , das kannst du zum Widerspruch führen.

ich weiß nicht wie es zum wiederspruch führen kann
das einzige was ich noch nicht benutzt habe ist die monotonie.. hilft die??

15.04.2014, 21:43

10001000Nick1

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Ja, die hilft. Ohne die Monotonie geht es natürlich nicht.

Du hast ja angenommen, dass $\begin{eqnarray*} x_1<f(x_1) \end{eqnarray*}$ . Was kannst du daraus mithilfe der strengen Monotonie folgern?

15.04.2014, 21:54

Bocks

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hmm keine ahnung
also
sei x2>x1 dann gilt wegen mono f(x2)>f(x1)
ingesamt x1<f(x1)<f(x2)

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15.04.2014, 22:03

10001000Nick1

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Ich bin dummerweise die ganze Zeit davon ausgegangen, dass f streng monoton steigend sein soll, aber wir wissen ja gar nicht, ob f streng monoton steigend oder fallend ist.

Na gut, dann müssen wir eine Fallunterscheidung machen.
Erstmal f streng monoton steigend.
Dann gilt also $\begin{eqnarray*} x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2) \end{eqnarray*}$ .
Jetzt weißt du ja (bzw. hast du angenommen), dass $\begin{eqnarray*} x_1<f(x_1) \end{eqnarray*}$ . Ersetze also in der oberen Implikation $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(x_1) \end{eqnarray*}$ .

Dann solltest du auf den Widerspruch kommen.

Übrigens habe ich hier nochmal was geändert; das stimmte vorher nicht.

Edit: Vergiss das mit der Fallunterscheidung wieder. Falls f streng monoton fallend ist, dürfte das sowieso nicht gelten. Allerdings müsste ja dann in der Aufgabe stehen, dass f streng monoton steigend ist, oder?

15.04.2014, 22:08

HAL 9000

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Fehlt da nicht was?

Zitat:

Original von Bocks
und f streng monoton

... wachsend? verwirrt

verwirrt

Für "f streng monoton fallend" ist die Aussage nämlich falsch - ein Gegenbeispiel ist leicht zu finden.

P.S.: Uups, hat sich überkreuzt - man sollte eben nicht zu viel parallel Fußball gucken.

15.04.2014, 22:16

Bocks

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ja streng monton steigend
ich soll bei x1<x2
x2 durch f(x1) ersetzen
dann folgt x1<f(x1)??

15.04.2014, 22:19

10001000Nick1

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Ja, das hatten wir ja angenommen.
Und was folgt dann daraus? (Es gilt ja $\begin{eqnarray*} x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2) \end{eqnarray*}$ )

Zitat:

Original von HAL 9000
P.S.: Uups, hat sich überkreuzt - man sollte eben nicht zu viel parallel Fußball gucken.

Sieht so aus, als wenn sich Bayern am 17. Mai für die Niederlage am Samstag revanchieren kann. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.04.2014, 22:25

Bocks

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Ja, das hatten wir ja angenommen.
Und was folgt dann daraus? (Es gilt ja $\begin{eqnarray*} x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2) \end{eqnarray*}$ )

wiederspruch das x1 das sup ist
denn x1<f(x2)

15.04.2014, 22:27

10001000Nick1

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Wieso das denn? Was ist $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ?

Setz doch einfach mal in $\begin{eqnarray*} x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\qquad f(x_1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ein.

15.04.2014, 22:35

Bocks

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Wieso das denn? Was ist $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ?

Setz doch einfach mal in $\begin{eqnarray*} x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\qquad f(x_1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ein.

alle x2 durch f(x1) ersetzen??
x1<f(x1) ->f(x1)>f(f(x1))

15.04.2014, 22:39

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Bocks
x1<f(x1) ->f(x1)<f(f(x1))

So stimmt es.

Also: Wir haben angenommen, dass $\begin{eqnarray*} x_1 <f(x_1) \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} f(x_1)<f(f(x_1)) \end{eqnarray*}$ . Das heißt doch aber, dass $\begin{eqnarray*} f(x_1)\in\{x\in[a,b]|x\leq f(x)\} \end{eqnarray*}$ .
Was ist jetzt der Widerspruch?

15.04.2014, 22:39

Bocks

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Zitat:

Original von Bocks

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Wieso das denn? Was ist $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ?

Setz doch einfach mal in $\begin{eqnarray*} x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\qquad f(x_1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ein.

alle x2 durch f(x1) ersetzen??
x1<f(x1) ->f(x1)>f(f(x1))

oder eben
x1<f(x1) und x2<f(x2) das ist der wiederspruch zum sup x1??

15.04.2014, 22:53

Bocks

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Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Original von Bocks
x1<f(x1) ->f(x1)<f(f(x1))

So stimmt es.

Also: Wir haben angenommen, dass $\begin{eqnarray*} x_1 <f(x_1) \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} f(x_1)<f(f(x_1)) \end{eqnarray*}$ . Das heißt doch aber, dass $\begin{eqnarray*} f(x_1)\in\{x\in[a,b]|x\leq f(x)\} \end{eqnarray*}$ .
Was ist jetzt der Widerspruch?

annahme war das x1 ist das sup ist und x1<f(x1)
da aber f(x1) selbst in der menge enthalten ist
ist das der wiederspruch zu x1 ist sup

15.04.2014, 22:54

10001000Nick1

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Genau.

15.04.2014, 23:03

Bocks

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mann o mann habe ich mich dämlich angestellt Hammer

Hammer

P.S wie kommste eig. sooo schnell auf die richtige lösung? Big Laugh

Big Laugh

15.04.2014, 23:16

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Bocks
P.S wie kommste eig. sooo schnell auf die richtige lösung? Big Laugh

Big Laugh

Es gibt hier sicherlich nicht "die" richtige Lösung, das ist nur eine von mehreren.

Da hilft: Übung, Übung, Übung. Wenn man solche Aufgaben oft löst, dann lernt man, "mathematisch zu denken".
Das heißt, bei solchen Aufgaben gehe ich erstmal die gängigen Beweisverfahren durch: Direkter Beweis, Widerspruchsbeweis, ..., und gucke, was hier funktionieren könnte. Und dann habe ich bei dieser Aufgabe relativ schnell gesehen, dass es hier eben mit einem Widerspruchsbeweis geht.
Und nachdem du ja auch schon einen sehr guten Ansatz geliefert hast (nämlich $\begin{eqnarray*} x_1:=\sup\{x\in[a,b]|x\leq f(x)\} \end{eqnarray*}$ ), ging der Rest dann relativ leicht. smile

smile

Übrigens sieht man auch oft eine ähnliche Aufgabe: "Sei $\begin{eqnarray*} f:[a,b]\to [a,b] \end{eqnarray*}$ stetig. Zeige, dass f einen Fixpunkt besitzt." Also genauso wie bei deiner Aufgabe, bloß dass f stetig ist und nicht mehr unbedingt streng monoton steigend.

15.04.2014, 23:33

Bocks

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ich bedank wieder für deine super hilfe Gott

Gott

Wink

15.04.2014, 23:35

10001000Nick1

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Gerne. Gute Nacht! Wink

Wink

Schläfer

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