Zeigen, dass 2^x schneller steigt, als x^100

15.04.2014, 21:05	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass 2^x schneller steigt, als x^100 Moin, wir behandeln gerade die O-Notation und ich hoffe, dass die Frage hier im Analysisbereich richtig aufgehoben ist. Eigentlich muss ich nämlich nur folgendes zeigen, um die Aufgabe zu lösen: $\begin{eqnarray} \exists c > 0, \ \ \ \exists x_0 > 0, \ \ \ \forall x > x_0 \ \ \ : \ \ \ x^{100} < c2^x \end{eqnarray}$ In Worten heißt das, dass ich auf jeden Fall eine Konstante c und ein x0 finden muss, so dass für alle x, welche größer als x0 sind gilt, dass $\begin{eqnarray} x^{100} < c2^x \end{eqnarray}$ gilt. Ich weiß aus einer anderen Vorlesung schon, dass das gilt. Ich kann auch intuitiv argumentieren, dass 2^x irgendwann einfach viel schneller steigt als x^100 und das deshalb irgendwann 2^x für alle weiteren x größer wird als x^100 aber ich weiß nicht, wie ich da mathematisch sauber hinkomme. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Ich habe mir schon mal die jeweiligen Ableitungen angeschaut um vielleicht so zu zeigen, dass 2^x schneller steigt als x^100 aber irgendwie komme ich damit auch nicht weiter. Gruß Martin
15.04.2014, 22:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wie findet man explizit passende $\begin{eqnarray} c,x_0 \end{eqnarray}$ ? Am besten logarithmieren, dann ist die Ungleichung äquivalent zu $\begin{eqnarray} 0 < \ln(c) + x\ln(2) - 100\ln(x) =: g(x) \end{eqnarray}$ . Schauen wir uns dieses eben definierte $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ genauer an: Wegen $\begin{eqnarray} g'(x) = \ln(2) - \frac{100}{x} \end{eqnarray}$ haben wir für $\begin{eqnarray} x\geq \frac{100}{\ln(2)} =: x_0 \end{eqnarray}$ die Eigenschaft $\begin{eqnarray} g'(x) \geq 0 \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ist ab da monoton wachsend. Jetzt muss nur noch für $\begin{eqnarray} g(x_0)>0 \end{eqnarray}$ gesorgt werden, und das sollte durch ein passend gewähltes $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ doch machbar sein, oder?
15.04.2014, 23:14	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah jo, Logarithmieren, das war der fehlende Hinweis. Ich schreibs hier noch mal schön auf, bin mir aber ziemlich sicher, dass das so richtig ist. Zu zeigen ist, dass eine Konstante c und eine Konstante x0 existiert, so dass für alle x größer als x0 gilt: $\begin{eqnarray} x^{100} \leq 2^xc \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow ln(x^{100}) \leq ln(2^xc) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow ln(x)100 \leq ln(2^x)+ln(c) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow 0 \leq ln(2)x+ln(c)-ln(x)100 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =: g(x) \end{eqnarray}$ Jetzt muss gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ für genügend große x immer positiv ist. Dazu zeigt man zuerst, dass ein x0 existiert, ab dem die Ableitung von $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x > x0 \end{eqnarray}$ immer positiv ist. Daraus kann man dann schließen, dass wenn am Punkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} g(x_0) > 0 \end{eqnarray}$ , für alle größeren x auch immer $\begin{eqnarray} g(x) > 0 \end{eqnarray}$ gilt. Zuerst betrachtet man die Ableitung von g(x): $\begin{eqnarray} g'(x) = ln(2) - \frac{100}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow g'(x) \geq 0 \ \ \ mit \ \ \ x \geq \frac{100}{ln(2)} =: x_0 \end{eqnarray}$ Es gibt also ein x0, ab dem die Ableitung von g(x) positiv ist und somit g(x) selbst steigt. Die Konstante c muss jetzt so gewählt werden, dass g(x0) größer 0 ist. Dazu betrachtet man g(x0): $\begin{eqnarray} g(x_0) = \frac{100}{ln(2)}ln(2)+ln(c)-100ln(\frac{100}{ln(2)}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 100+ln(c)-100ln(\frac{100}{ln(2)}) \end{eqnarray}$ Ohne c genau auszurechnen sieht man, da der Subtrahend konstant ist, dass ein geeignetes c auf jeden Fall exisitert und damit dürfte alles gezeigt sein. Gruß Martin
15.04.2014, 23:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so geht's. Wenn man denn unbedingt auflösen will, erhält man $\begin{eqnarray} c = \left( \frac{100}{e\ln(2)} \right)^{100} \approx 3\cdot 10^{172} \end{eqnarray}$ Mit genau dem $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ gilt dann sogar $\begin{eqnarray} x^{100} < c\cdot 2^x \end{eqnarray}$ für alle positiv reellen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit Ausnahme von $\begin{eqnarray} x_0= \frac{100}{\ln(2)} \end{eqnarray}$ - dort gilt Gleichheit statt < .

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