Bedingte Wahrscheinlichkeit: Fußball

15.04.2014, 21:15

Bonheur

Bedingte Wahrscheinlichkeit: Fußball

Die ersten zwei Übungsaufgaben, habe ich selber hinbekommen. smile

Die sensible Fußballmannschaft Bayern München muss in 4 von 10 Fällen zuerst ein Gegentor hinnehmen. Tritt dieser Fall ein, wird das Spiel mit 80 % Wahrscheinlichkeit verloren. Im anderen Fall werden 7 von 10 Spielen gewonnen. Es fällt mindestens ein Tor.
a) Nick setzt vor dem Spiel 40 € darauf, dass Bayern München das erste Tor schießt und das Spiel gewinnt. Fridolin setzt 50 € dagegen.
b) Nick setzt vor dem Spiel 10 € darauf, dass Bayern München weder das erste Tor schießt noch gewinnt. Fridolin setzt 30 € dagegen.
Wer hat die bessere Gewinnerwartung?

Ideen:

1.Fall wird beschrieben mit "A".
2.Fall wird beschrieben mit "B".

1.Fall:
4 von 10 Fällen bedeutet ja nichts anderes als: $\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{4}{10}=0,4 \end{eqnarray*}$ , wenn dieser Fall eintretet, dann haben die Bayern das Spiel zu 80 % verloren.
$\begin{eqnarray*} P_{A}(V)=\frac{80}{100}=0,8 \end{eqnarray*}$

Da unser junger Nick gesagt hat, dass die Bayern das erste Tor schießen und unser Fridolin das Gegenteil, muss man beide Wahrscheinlichkeiten vergleichen:

1. $\begin{eqnarray*} P_{A}(V) \cdot P(A)=0,2 \cdot 0,8=0,16 \end{eqnarray*}$

Stimmen meine Überlegungen ? smile

Wenn meine Überlegungen stimmen, dann habe ich Probleme mit dem zweiten Fall und zwar für Nick.

Vielen Dank

15.04.2014, 22:50

HAL 9000

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a) ist mit den Angaben der Aufgabenstellung berechenbar.

Bei b) fehlt die Zusatzvoraussetzung, dass das Spiel auch tatsächlich garantiert einen Sieger hat (z.B. Pokalspiel). Ansonsten sind die Angaben der Aufgabenstellung nicht ausreichend - ich sage nur: Remis 1:1 mit zuerst Gegentor .

15.04.2014, 23:08

Bonheur

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Meinst du das Spiel:

Manchester United gegen Bayern München. smile

Würde nicht da die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{4}{10} \end{eqnarray*}$ eintreten. Nun stellt sich die Frage, ob sie noch ein Tor schießen. In der Aufgabe steht, dass sie weder das erste Tor schießen noch gewinnen. Es ist allerdings unklar, ob sie verlieren oder ob es ein Unentschieden gibt.

$\begin{eqnarray*} P_{A}(V)=\frac{80}{100}=0,8 \end{eqnarray*}$

Wenn sie verlieren.

Ich denke, dass man nun die Gegenwahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ bilden muss, also $\begin{eqnarray*} 1-P(A) \end{eqnarray*}$ , dass sie quasi ein Tor schießen und alles irgendwie miteinander verbinden.

Edit:

Stimmen die Überlegungen zu a) ? smile

15.04.2014, 23:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bonheur
1. $\begin{eqnarray*} P_{A}(V) \cdot P(A)=0,2 \cdot 0,8=0,16 \end{eqnarray*}$

Es ist nicht P(A)=0.2 , sondern wie von dir oben festgestellt P(A)=0.4.

Aber abgesehen davon: Was bezweckst du mit der Wahrscheinlichkeit, dass Bayern zuerst ein Gegentor kassiert UND verliert? Das ist lediglich ein Teil des Gewinn-Szenarios von Fridolin, und nützt für sich genommen nicht viel.

15.04.2014, 23:28

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} P_{A}(V) \cdot P(A)=0,4 \cdot 0,8=0,32 \end{eqnarray*}$

Dann gilt die Wahrscheinlichkeit für Fridolin. verwirrt

Zitat:

Original von HAL 9000
Aber abgesehen davon: Was bezweckst du mit der Wahrscheinlichkeit, dass Bayern zuerst ein Gegentor kassiert UND verliert? Das ist lediglich ein Teil des Gewinn-Szenarios von Fridolin, und nützt für sich genommen nicht viel.

Ich wollte beide Wahrscheinlichkeiten vergleichen und schauen wer von den beiden die besseren Chancen hat.

Ich versuche mal die Wahrscheinlichkeit für Nick aufzustellen:

$\begin{eqnarray*} \Big(1-P(A)\Big) \cdot P_{\overline{A}}(\overline{V})=\frac{6}{10} \cdot \frac{2}{10}=0,12 \end{eqnarray*}$

Nun wollte ich beide vergleichen:

0,12 und 0,32.

15.04.2014, 23:32

HAL 9000

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Nochmal: Die 32% sind NICHT die Gewinnwahrscheinlichkeit von Fridolin - die ist größer:

Die umfasst auch die Fälle, dass Bayern zuerst ein Tor schießt und dennoch nicht gewinnt, bzw. auch die Fälle, dass Bayern zuerst ein Gegentor bekommt und dennoch gewinnt.

Bring mal Ordnung in die Ereigniskombinationen, lies dir GENAU durch, wann wer gewinnt - anscheinend verwechelst du Durchschnitt und Vereinigungen o.ä. ... sieht jedenfalls ganz danach aus.

-------------------------------------------------------------------------

Da ich mich in die Nacht verabschiede:

Ich geh mal der Einfachheit davon aus, dass Remis (aus welchen Gründen auch immer) hier ausgeschlossen ist. Dann betrachten wir hier die Ereignisse:

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ... Bayern bekommt zuerst ein Gegentor

$\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ... Bayern verliert

Aus der Aufgabenstellung kann man dann die Werte

$\begin{eqnarray*} P(A) = 0.4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(V \mid A) = 0.8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(V^c \mid A^c) = 0.7 \end{eqnarray*}$

ablesen. In a) ist $\begin{eqnarray*} P(A^c\cap V^c) \end{eqnarray*}$ die Gewinnwahrscheinlichkeit für Nick, in b) ist es hingegen $\begin{eqnarray*} P(A\cap V) \end{eqnarray*}$ . Die jeweilige Gegenwahrscheinlichkeit ist die Gewinnwahrscheinlichkeit von Fridolin.

Das in geraffter Form ist alles, was man an Abstraktion braucht, um die Gewinnerwartungswerte dann auch berechnen zu können.

15.04.2014, 23:54

Bonheur

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Ich versuche es. geschockt

Wir betrachten zwei Ereignisse: Ich benenne beide Ereignisse mit "A" und "B".
A beschreibt, dass die Bayern als erstes ein Gegentor erhalten: $\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{4}{10}=0,4 \end{eqnarray*}$
B beschreibt, dass die Bayern das Spiel verlieren, unter der Bedingung, dass sie ein Gegentor kassiert haben.
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} P_{A}(B)=\frac{8}{10} \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bayern kein Gegentor erhalten: $\begin{eqnarray*} P(\overline{A})=\frac{6}{10} \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bayern das Spiel gewinnen, unter der Bedingung, dass sie ein Gegentor kassieren:

$\begin{eqnarray*} P_{A}(\overline{B})=0,2 \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bayern das Spiel gewinnen, unter der Bedingung, dass sie kein Gegentor kassieren:

$\begin{eqnarray*} P_{\overline{A}}(\overline{B})=0,7 \end{eqnarray*}$

Zuletzt die Wahrscheinlichkeit, dass die Bayern das Spiel verlieren, unter der Bedingung, dass sie kein Gegentor kassieren:

$\begin{eqnarray*} P_{\overline{A}}(B)=0,3 \end{eqnarray*}$

Ich habe bei meinen vorigen Überlegungen überhaupt nicht, die Menge an bezahltem Geld miteinbezogen. Finger1

Nun denn:
Nick: $\begin{eqnarray*} P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A}) \cdot P_{\overline{A}}(\overline{B})=0,6 \cdot 0,7=0,42 \end{eqnarray*}$
Fridolin: $\begin{eqnarray*} P(A \cap B)=P(A) \cdot P_{A}(B)=0,8 \cdot 0,4=0,32 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X)=40 \cdot 0,42=16,8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X)=50 \cdot 0,32=16 \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass die Wahrscheinlichkeit von Fridolin nicht stimmt. Ich mach auf jeden Fall eine Pause, habe heute zu viel dazu gelernt. smile

Wir können morgen weitermachen. Augenzwinkern

Vielen Dank nochmal

16.04.2014, 08:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bonheur
B beschreibt, dass die Bayern das Spiel verlieren, unter der Bedingung, dass sie ein Gegentor kassiert haben.

Das ist schon mal grundverkehrt angelegt:

Man definiert keine Ereignisse "... unter der Bedingung ..." - sowas kommt später über die bedingte Wahrscheinlichkeit rein!!! D.h., es ist einfach B das Ereignis, das Bayern verliert (bei mir oben V).

P_A(B) beschreibt dann bereits die Wahrscheinlichkeit, dass Bayern verliert unter der Bedingung, dass sie zuerst das Gegentor kassieren.

Zitat:

Original von Bonheur
Fridolin: $\begin{eqnarray*} P(A \cap B)=P(A) \cdot P_{A}(B)=0,8 \cdot 0,4=0,32 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X)=40 \cdot 0,42=16,8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X)=50 \cdot 0,32=16 \end{eqnarray*}$

Hier sind so viele Fehler versammelt, dass ich nicht mal rekonstruieren kann, ob du über a) oder b) sprichst. unglücklich

Ich komme erstmal zu a)

Da stimmt zumindest die Gewinnwahrscheinlichkeit für Nick, die ist 0.42 - dann ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für Fridolin 1-0.42=0.58. Im Gewinnfall gewinnt Nick nicht 40€ (das ist sein Einsatz), sondern die 50€ Einsatz von Fridolin!!! D.h., wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ der Gewinn von Nick ist - bzw. negativ, falls er verliert - dann bekommen wir als mittleren Gewinn für Nick

$\begin{eqnarray*} E(X) = 50\cdot 0.42 - 40\cdot 0.58 \end{eqnarray*}$ .

16.04.2014, 10:02

Bonheur

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Es tut mir leid, dass ich so viele Fehler mache. unglücklich

Alle meine Überlegungen gehörten noch zu a).
Fridolin:
$\begin{eqnarray*} E(X) = 40 \cdot 0.58 - 50\cdot 0.42 \end{eqnarray*}$

Aufgabe b)

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=0,32 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A^{c} \cap B^{c})=1-0,32 \end{eqnarray*}$

Erwartungswert:
Nick:
$\begin{eqnarray*} E(X)=30 \cdot 0,32 - 10 \cdot (1-0,32) \end{eqnarray*}$

Fridolin:
$\begin{eqnarray*} E(X)=10 \cdot (1-0,32) -30 \cdot 0,32 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ich diesmal auch nicht gegen die Wand laufen. unglücklich

16.04.2014, 10:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bonheur
Aufgabe b)

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=0,32 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P({\color{red}A^{c} \cap B^{c}})=1-0,32 \end{eqnarray*}$

Nein!!! Sondern

$\begin{eqnarray*} P((A\cap B)^c) = P(A^c \cup B^c) = 1-0.32 = 0.68 \end{eqnarray*}$

Siehe DeMorgansche Gesetze .

In Worten: Fridolin gewinnt bei b), wenn Bayern das erste Tor schießt ODER gewinnt! ODER - nicht UND!!!

16.04.2014, 10:28

Bonheur

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Verstehe.

Aber die Erwartungswerte sind richtig oder?

Es tut mir nochmal aufrichtig leid, dass ich so viele Fehler gemacht habe.

Ich beschäftige nun ein wenig mit der Mengenlehre, weil wir die noch nie angesprochen haben.

Vielen Dank

16.04.2014, 10:40

HAL 9000

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Ja, die Erwartungswerte stimmen. Wäre natürlich noch angebracht, dass jeweils am Ende der Zeile die Zahl auch noch ausgerechnet wird, damit auch die Frage "Wer hat die bessere Gewinnerwartung" beantwortet werden kann. Augenzwinkern

P.S.: Ich hab die Aufgabe natürlich so verstanden, dass die beiden privat gegeneinander wetten, also nicht etwa getrennt voneinander jeweils in einem Wettbüro. Für letzteres wäre ja auch noch die Kenntnis der Quoten unumgänglich gewesen, um die Gewinssumme berechnen zu können - davon war dort keine Rede. Zugegeben, das mit dem "gegeneinander wetten" hätte etwas deutlicher klargemacht werden müssen als nur mit dem kleinen Wörtchen "dagegen" jeweils am Ende der Fragen a) sowie b).

16.04.2014, 10:55

Bonheur

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Erwartungswert:
Nick:
$\begin{eqnarray*} E(X)=30 \cdot 0,32 - 10 \cdot (1-0,32)=2,8 \end{eqnarray*}$

Fridolin:
$\begin{eqnarray*} E(X)=10 \cdot (1-0,32) -30 \cdot 0,32=-2,8 \end{eqnarray*}$

Daraus würde ich interpretieren, dass Nick pro Wette 2,8 € Gewinn macht und Fridolin macht 2,8 € Verlust.

Stimmt diese Annahme. smile

Vielen Dank nochmal.

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