Integration spezieller Differentialgleichungen 1. Ordnung durch Substitution

16.04.2014, 14:20

AchilesAuferstanden

Integration spezieller Differentialgleichungen 1. Ordnung durch Substitution

In meinem Lehrbuch steht, das ich eine DGL der Form y`=f(y/x) mithilfe der Substitution u=y/x lösen kann. Dazu wird folgendes Beispiel genannt.

y`=(x+2y)/x=1+2(y/x).

Meine Frage: Muss ich diese vereinfachung vornehmen? Darf ich nicht einfach den kompletten Bruch am Anfang substituieren?

16.04.2014, 14:31

grosserloewe

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RE: Integration spezieller Differentialgleichungen 1. Ordnung durch Substitution
Wink

Ich würde Dir empfehlen , erst vereinfachen dann substituieren.
Also so , wie es da steht.

16.04.2014, 14:33

AchilesAuferstanden

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Geht diese Substitution dann also nur wenn wirklich y/x in der Funktion steht und nicht mehr ?

16.04.2014, 14:46

grosserloewe

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Du kannst auch in die Ausgangsgleichung

$\begin{eqnarray*} y= u *x \end{eqnarray*}$

einsetzen und dann kürzen , das ist egal.

Beachte:

dabei ist :

$\begin{eqnarray*} y'= u'*x \end{eqnarray*}$

16.04.2014, 14:47

AchilesAuferstanden

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Also es geht darum, wie ich es mach wenn man nicht zusammenfassen kann weiter und da ebend ein Bruch steht wie man da vorgeht. Oder geht man da mit anderen Lösungswegen vor die mir noch nicht bekannt sind ?

16.04.2014, 14:55

AchilesAuferstanden

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Zitat:

Original von grosserloewe
Wink

Du kannst auch in die Ausgangsgleichung

$\begin{eqnarray*} y= u *x \end{eqnarray*}$

einsetzen und dann kürzen , das ist egal.

Danke das wollte ich wissen.

16.04.2014, 15:07

grosserloewe

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Du kannst auch mit Variation der Konstanten die Aufgabe lösen.

16.04.2014, 15:24

AchilesAuferstanden

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Ich hätte hier eine andere Aufgabe, nämlich y`=2x-y

Ansatz:

u=2x-y, u`=2-y`

Ich verstehe nicht wieso u differenziert wird und wieso y nicht als konstante betrachtet wird beim differenzieren und einfach nur y` geschrieben wird.

Da steht auch wirklich nichts, außer dieser Ansatz.

16.04.2014, 15:25

AchilesAuferstanden

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Kann es sein das wieder nach y aufgelöst wurden ist und in die Ausgangsgleichung eingesetzt wurden ist?

16.04.2014, 15:34

AchilesAuferstanden

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Ja genau so wird es anscheinend gemacht, aber wieso verschwindet nicht u und mans chreibt u` ? Das ist mir nicht ganz klar.

Also y`=2x-y

Subs.: u=2x-y <-> y=2x-u -> In AusgangsDGL: (2x-u)'=2x-(2x-u)

Wenn ich (2x-u)' differenziere wieso kommt dort 2x-u` herraus? Das ist mir nicht klar, also die u` irritieren mich.

16.04.2014, 16:04

AchilesAuferstanden

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Kann mal jemand sagen nach was hier eigentlich immer differenziert wird? Nach der Ausgangsvariable oder? Also hier ebenfalls nach x

(2x-u)'

Und da ich nicht weiss was u genau ist muss ich u`schreiben oder? Ich denke das ist der Grund. Bei 2x weiss ich ja das 2 daraus folgt.

16.04.2014, 16:24

grosserloewe

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also:

Du substituierst

$\begin{eqnarray*} u= 2x-y \end{eqnarray*}$

stellt das nach y um:

$\begin{eqnarray*} y= 2x-u \end{eqnarray*}$

leitest das Ganze ab:

$\begin{eqnarray*} y'= 2 -u' \end{eqnarray*}$

setzt das dann in die Aufgabe ein und erhälst:

$\begin{eqnarray*} 2 -u'= u \end{eqnarray*}$

dabei ist:

$\begin{eqnarray*} u'= \frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$

und wendest nun Trennung der Variablen an.

Zum Schluß mußt Du noch resubstituieren.

Das ist die ganze Kunst.

smile

16.04.2014, 16:34

AchilesAuferstanden

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Habs hinbekommen, danke!

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