Wie löse ich diese Art von Gleichung?

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Levaru Auf diesen Beitrag antworten »
Wie löse ich diese Art von Gleichung?
Meine Frage:
Ich habe bei dem Versuch eine zweite Tangente (mit der gleichen Steigung wie die erste) an einer Kurve zu finden die folgende Gleichung aufgestellt:

f'(x) = f'(1) //Die 1 ist der X-Wert für den Punkt der ersten Tangente

(8*x - 4*x^2) * e^(-x) = 4/e

ich habe ein wenig rumgerechnet und umgestellt und bin am Ende auf diese Gleichung gekommen:

(2x-x^2) * e^(1-x) -1 = 0

Sie ist immer noch richtig(mit WolframAlpha geprüft) nur leider weis ich einfach nicht wie man diese Gleichung nun nach X auflöst.

Meine Ideen:
(8*x - 4*x^2) * e^(-x) = 4/e

Wäre das (4/e) nicht vorhanden hätte ich einfach die pq-Formel angewendet aber es nunmal da und ich krieg es nicht weg unglücklich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie löse ich diese Art von Gleichung?
Eine derartige Gleichung läßt sich leider nur mir einem Näherungsverfahren lösen.
Abgesehen davon: auch wenn das 4/e nicht da stünde, wäre die Anwendung der pq-Formel ohne weiteres nicht machbar.
 
 
Levaru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie löse ich diese Art von Gleichung?
Wieso denn nicht? Geht doch ganz einfach:

(8*x - 4*x^2) * e^(-x) = 4/e

Nehmen jetzt an das 4/e nicht vorhanden ist.

(8*x - 4*x^2) * e^(-x) = 0

Teilen auf in...

e^(-x) = 0 //was nicht geht da eine e-Funktion nicht null sein kann.

und...

8*x - 4*x^2 = 0 / : (-4)

x^2 - 2*x = 0

und jetzt ganz einfach pq
pupped Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie löse ich diese Art von Gleichung?
(2x-x^2) * e^(1-x) -1 = 0

diese gleichung ist leicht aufzulösen, da braucht man kein näherungsversuch smile
ich habe gelernt, dass e^bla bla bla niemals 0 ergeben kann!
dementsprechend konzentrierst du dich auf den ersten term: (2x - x^2)

diesen term musst du dann einfach nur noch 0 setzen und zack ist das umstellen ganz leicht! smile Freude
Levaru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie löse ich diese Art von Gleichung?
Ja aber ich glaub ich hab die Gleichung etwas falsch aufgeschrieben.

Das "-1" befindet sich NICHT im Exponenten.

Falls es euch hilft hier sind die möglichen Ergebnisse:

x = 1 (Punkt der ersten Tangente mit der Steigung 4/e)

x = 0.285444
pupped Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie löse ich diese Art von Gleichung?
dann dürfte es doch so auch trotzdem eig gehen.

denn die -1 ziehst du rüber
-> (2x - x^2)* e^(1-x) = 1 // e kann nicht 0 ergeben
ergo:
-> (2x - x^2) = 1

ich glaube ab da an sollte es kein problem mehr werden smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich antworte mal, weil Klarsoweit gerade nicht online ist (und um noch Schlimmeres zu verhindern Augenzwinkern ): Es gibt die Regel "Ein Produkt ist 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist."
Das gilt doch aber nicht, wenn das Produkt gleich 1 sein soll.

@Levaru: Du kannst doch nicht einfach annehmen, dass 4/e nicht da wäre. geschockt

Du musst hier wirklich ein Näherungsverfahren verwenden.
Levaru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie löse ich diese Art von Gleichung?
Nicht ganz. Du darfst dies nur machen wenn auf der anderen Seite des Gleichzeichens eine Null steht.

Denn dann stimmt der Ausdruck das e^(bla bla) nicht null werden darf. Wenn aber dort steht e^(bla bla)=1 dann darfst du es nicht einfach so vernachlässigen.

@10001000Nick1
Das habe ich jetzt nur einmal gemacht um zu zeigen das so etwas mit der pq-Formel lösbar ist im Falle das 4/e nicht vorhanden wäre.
pupped Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie löse ich diese Art von Gleichung?
dämliche e-funktionen ^^

gut, dann entschuldige ich mich hiermit. ich dachte man hätte es so machen können :/ Gott
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie löse ich diese Art von Gleichung?
Zitat:
Original von Levaru
Nehmen jetzt an das 4/e nicht vorhanden ist.

(8*x - 4*x^2) * e^(-x) = 0

Teilen auf in...

e^(-x) = 0 //was nicht geht da eine e-Funktion nicht null sein kann.

und...

8*x - 4*x^2 = 0 / : (-4)

x^2 - 2*x = 0

und jetzt ganz einfach pq

OK, so geht es natürlich, aber es wurde nicht deutlich, was du gemeint hattest. Wobei pq-Formel auf x^2 - 2*x anwenden auch etwas überfrachtet wäre, da man hier locker ein x ausklammern kann. smile
Levaru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie löse ich diese Art von Gleichung?
Nun da wir jetzt endlich gelernt haben wie man richtig die e-Funktion ausklammern kann wenn hinter dem Gleichzeichen eine Null steht können wir jetzt bitte auf die erste Frage zurückkommen?

Ich werd einfach nicht schlau draus. Welches Verfahren kann man hier benutzen??!!! verwirrt verwirrt verwirrt verwirrt
pupped Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie löse ich diese Art von Gleichung?
Zitat:


und...

8*x - 4*x^2 = 0 / : (-4)

x^2 - 2*x = 0

und jetzt ganz einfach pq



wieso denn da die p-q-formel?
man kann doch ganz easy ausklammern

x^2 - 2x = 0
x (x-2)=0

das ist doch das, was ich die ganze zeit meinte -.-*
Levaru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie löse ich diese Art von Gleichung?
Zitat:
Original von pupped
wieso denn da die p-q-formel?
man kann doch ganz easy ausklammern

x^2 - 2x = 0
x (x-2)=0

das ist doch das, was ich die ganze zeit meinte -.-*


Ich werd hier langsam verrückt, meine nerven sind fast blank unglücklich

Das ist die Gleichung die gelöst werden muss:

(2x-x^2) * e^(1-x) -1 = 0
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie löse ich diese Art von Gleichung?
Zitat:
Original von Levaru
Ich werd einfach nicht schlau draus. Welches Verfahren kann man hier benutzen??!!! verwirrt verwirrt verwirrt verwirrt

Ein mögliches Näherungsverfahren wäre z.B. das Newton-Verfahren. Oder der Blick auf den Plot:


smile
pupped Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie löse ich diese Art von Gleichung?
immer mit der ruhe Lehrer

es ist ja schön ung gut, ws wir hier gerade diskutieren, aber was genau ist jetzt nun eig deine aufgabe?

musst du einfach nur eine zweite tangentengleichung aufstellen oder was jetzt genau? verwirrt

Lieber user, der Thread wird schon bearbeitet. Bitte halte Dich daher mit Deinen Beiträgen zurück, bis die Frage geklärt ist. Sonst erzeugst Du nur Verwirrung, wie bewiesen. Vielen Dank. Steffen
Levaru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie löse ich diese Art von Gleichung?
Zitat:
Original von klarsoweit
[quote]
Ein mögliches Näherungsverfahren wäre z.B. das Newton-Verfahren. Oder der Blick auf den Plot:


Also gibt es außer dem Newton-Verfahren als Annäherung keine konkrete Möglichkeit den zweiten x-Wert zu bestimmen?

Falls dies der Fall ist, wäre meine Frage mehr oder weniger geklärt. Es stellt sich aber eine neue auf:

Die Funktion f ist gegeben durch f(x)=4x^2 * e^(-x)

Eine der Aufgaben lautet:
Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t an G im Punkt P(1|f(1))
Berechnen Sie die Größe des Winkels a, den t mit der positiven x-Achse bildet.
Begründen Sie auf Grund Ihrer bisher ermittelten Ergebnisse anschaulich, dass es eineweitere Tangente an den Graphen G geben muss, die einen Steigungswinkel mit der gleichen Größe wie a hat.

Den ersten Teil habe ich bereits erledigt. Der zweite Teil war derjenige der mir die Kopfschmerzen bereitet hat da ich versucht habe ihn rechnerisch zu lösen weil ich der Vermutung war das es eine schnelle und eindeutige Lösung gibt. Aber wie kann ich es denn noch begründen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie löse ich diese Art von Gleichung?
Na endlich bekommen wir die komplette Aufgabe zu sehen. unglücklich

Also die Tangentengleichung lautet ja und wie man leicht sieht, ist f(1) = t(1) (schon allein wegen der Tangenteneigenschaft) und obendrein noch f(0) = t(0) = 0.

Aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung folgt, daß es im Intervall (0; 1) eine Stelle x_0 gibt mit . smile

EDIT: ich sehe gerade, daß du die gleiche Aufgabe nochmal gestellt hast. Sehr ärgerlich. böse
Existenz zweiter Tangente begründen
Levaru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie löse ich diese Art von Gleichung?
Tut mir leid das ich einen zweiten Thread aufgemacht habe. Gott

Zum einen hatte ich keine Zeit mehr weiter auf eine Antwort zu warten Hammer und zum anderen war dieser Thread ja mehr eine Frage nach der Lösung der Gleichung und nicht der Aufgabe selbst.

Ich habe jetzt versucht mit zahlreichen Videos das Prinzip des Mittelwertsatzes zu verstehen was mir leider nicht gelingt.

Diese folgende Aussage kommt vollkommen überflüssig vor da sie ja nur die Steigung der mir bereits bekannten Tangente beschreibt und mir in keinster Weise sagt das es noch andere gibt.

Zitat:


Was ich aber mehr oder weniger verstanden hab:

1. Die erste Tangente ist auch gleichzeitig die Sekante zwischen f(0) und f(1).
2. Diese Tangente bildet somit einen Mittelwert in dem Intervall [0;1]. Damit ist die Steigung 4/e gemeint.
3. Da wir auf der Funktion f(x) im Intervall [0;1] einen Wendepunkt(0.59|0.77) vorliegen haben und eine Tangente bereits durch seine Steigung auch den Mittelwert repräsentiert, muss folglich eine weitere Tangente mit der gleichen Steigung darunter liegen.

RICHTIG? Wink
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie löse ich diese Art von Gleichung?
Zitat:
Original von Levaru
Diese folgende Aussage kommt vollkommen überflüssig vor da sie ja nur die Steigung der mir bereits bekannten Tangente beschreibt und mir in keinster Weise sagt das es noch andere gibt.

Zitat:


Du mußt schon genau lesen: der Mittelwertsatz (siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwerts...rentialrechnung ) besagt, daß es irgendwo im Intervall (0; 1) eine Stelle x_0 gibt, wo der Funktionsgraph (und natürlich auch die dort anzulegende Tangente) die Steigung 4/e hat. Es ist also x_0 < 1, mithin also von 1 verschieden. Und damit ist der Käs gegessen.

Zitat:
Original von Levaru
3. Da wir auf der Funktion f(x) im Intervall [0;1] einen Wendepunkt(0.59|0.77) vorliegen haben und eine Tangente bereits durch seine Steigung auch den Mittelwert repräsentiert, muss folglich eine weitere Tangente mit der gleichen Steigung darunter liegen.

Die Existenz eines Wendepunktes ist für den Mittelwertsatz uninteressant und auch nicht erforderlich. Der Mittelwertsatz besagt nur, daß es im Intervall (a, b) eine Stelle x_0 gibt, wo die die Funktion f(x) die gleiche Steigung hat wie die Gerade durch die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)). Beispiel:



Wie man leicht nachrechnet, ist die gesuchte Stelle x_0 = 1,5 .

Was nun die Lösung der Aufgabe angeht, war ich davon ausgegangen, daß der Aufgabensteller auf die Anwendung des Mittelwertsatzes gezielt hat. Da ihr diesen aber anscheinend noch nicht hattet, fällt dieser Weg nun aber flach.
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