Funktionen mit mehreren unabh. Variablen - Partielle Ableitungen

16.04.2014, 13:51

DarkEagle

Funktionen mit mehreren unabh. Variablen - Partielle Ableitungen

Aufgabe:

Ein Hobby-Weinbauer kann den jährlichen Ertrag E(z,g) (in ME/Jahr) seines kleinen Rebbergs in Abhängigkeit des zeitlichen Arbeitseinsatzes z (in h/Jahr) und des Kapitaleinsatzes g (für Jungpflanzen, Chemie, Geräte, etc) (in CHF/Jahr) wie folgt beschreiben:

$\begin{eqnarray*} E(z,g) = 50z + 10g + zg - z^{2} - 0.5g^{2} \end{eqnarray*}$

Wie soll der Hobby-Weinbauer Arbeit und Kapital einsetzen, damit er einen möglichst grossen Jahresertrag erzielt? Zeigen Sie, dass es sich bei Ihrer Lösung um ein Maximum handelt!

Pröstli Freude

Meine Berechnung

$\begin{eqnarray*} E_{z} = 50 + g - 2z = 0 \\ z = 60 \\ E_{g} = 10 + z - g = 0 \\ g = 70 \\ \\ E_{zz} = - 2 \\ E_{gg} = - 1 \end{eqnarray*}$

Meine Frage

E_{zg}=...?

Gemäss Lösung ist: E_{zg}= 1

Ich aber komme auf -1.

Meine Berechnung:

$\begin{eqnarray*} E_{zg}= -2 + 1 - 1 + 1 = -1 \end{eqnarray*}$

Wo liegt mein Fehler...?
verwirrt

16.04.2014, 13:57

Kasen75

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Hallo,

bei $\begin{eqnarray*} E_{zg} \end{eqnarray*}$ handelt es sich um eine Kreuzableitung.

Entweder leitest du $\begin{eqnarray*} E_z \end{eqnarray*}$ nach g ab, oder du leitest $\begin{eqnarray*} E_g \end{eqnarray*}$ nach z ab. In beiden Fällen kommt das gleiche raus.

Grüße.

18.04.2014, 09:27

DarkEagle

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Aha! Somit...

$\begin{eqnarray*} E_{z} \end{eqnarray*}$ nach g abgeleitet gibt 1. Genau dasselbe bei $\begin{eqnarray*} E_{g} \end{eqnarray*}$ abgeleitet nach z...

Was, wenn ich folgende Situation habe?:

$\begin{eqnarray*} E_{z}= 50 + 3g - 2z \\ E_{g}= 10 + 6z - g \end{eqnarray*}$

Denn $\begin{eqnarray*} E_{z} \end{eqnarray*}$ abgeleitet nach g ist 3 und $\begin{eqnarray*} E_{g} \end{eqnarray*}$ abgeleitet nach z ist 6.

Ist dann $\begin{eqnarray*} E_{zg} \end{eqnarray*}$ = 18? (=3*6)

18.04.2014, 11:00

Kasen75

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Zitat:

Original von DarkEagle
Aha! Somit...

$\begin{eqnarray*} E_{z} \end{eqnarray*}$ nach g abgeleitet gibt 1. Genau dasselbe bei $\begin{eqnarray*} E_{g} \end{eqnarray*}$ abgeleitet nach z...

Genau.

Zitat:

Original von DarkEagle
Was, wenn ich folgende Situation habe?:

$\begin{eqnarray*} E_{z}= 50 + 3g - 2z \\ E_{g}= 10 + 6z - g \end{eqnarray*}$

Diese Situation wirst du nie haben.

Wenn man $\begin{eqnarray*} E_{z} \end{eqnarray*}$ nach z integriert, dann ist $\begin{eqnarray*} E_1(g,z)=50z+\textcolor{blue}{3gz}-z^2+C_1 \end{eqnarray*}$

Edit: Kursives wurde ersetzt.
Hier kann $\begin{eqnarray*} C_1=-\frac{1}{2}g^2+10g \end{eqnarray*}$ sein, da die Variable g als konstant betrachtet werden kann bezüglich der Ableitung nach der Variable z. Diese fällt bei der partiellen Ableitung nach z weg.

$\begin{eqnarray*} E_1(g,z)=50z+\textcolor{blue}{3gz}-z^2-\frac{1}{2}g^2+10g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_g \end{eqnarray*}$ nach g integriert ist $\begin{eqnarray*} E_2(g,z)=10g+\textcolor{blue}{6gz}-\frac{1}{2}g^2+C_2 \end{eqnarray*}$ Hier kann sein.
Hier kann $\begin{eqnarray*} C_2=-z^2+50z \end{eqnarray*}$ sein, da die Variable z als konstant betrachtet werden kann bezüglich der Ableitung nach der Variable g. Diese fällt bei der partiellen Ableitung nach g weg.

$\begin{eqnarray*} E_2(g,z)=10g+\textcolor{blue}{6gz}-\frac{1}{2}g^2-z^2+50z \end{eqnarray*}$

Vergleicht man $\begin{eqnarray*} E_1(g,z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_2(g,z) \end{eqnarray*}$ , dann sind die beiden blauen Summanden unterschiedlich. Somit können die beiden partiellen Ableitungen, die du angegeben hast, nicht aus der selben Funktion hervorgegangen sein.

Deswegen ist bei dir $\begin{eqnarray*} E_{gz} \neq E_{zg} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von DarkEagle
Denn $\begin{eqnarray*} E_{z} \end{eqnarray*}$ abgeleitet nach g ist 3 und $\begin{eqnarray*} E_{g} \end{eqnarray*}$ abgeleitet nach z ist 6.

Weil die Ergebnisse unterschiedlich sind, entstammen die Ableitungen nicht der selben Funktion.

Zitat:

Original von DarkEagle
Ist dann $\begin{eqnarray*} E_{zg} \end{eqnarray*}$ = 18? (=3*6)

Mal angenommen, die Kreuzableilungen würden stimmen, dann ist die Schreibweise nicht richtig. Sie müsste so aussehen:

$\begin{eqnarray*} E_{zg} \cdot E_{gz}=18 \end{eqnarray*}$

In der Regel ist aber $\begin{eqnarray*} E_{zg} = E_{gz} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} E_{zg} \cdot E_{gz}=\left(E_{gz}\right) ^2=\left(E_{zg}\right) ^2 \end{eqnarray*}$

18.04.2014, 14:25

DarkEagle

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Vielen Dank Kasen75!
Deine ausführliche Erklärung hat mir sehr geholfen...

Stimmt, da es auf die Stammfunktion ankommt, kann eine solche Situation nicht auftreten...

Freundliche Grüsse

18.04.2014, 16:17

Kasen75

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Gerne. Freut mich, dass alles klar ist.
Schöne Osterfeiertage. smile

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