k-te Wurzel lässt sich nicht als Bruch darstellen

16.04.2014, 18:37	mathemäuschen	Auf diesen Beitrag antworten »
k-te Wurzel lässt sich nicht als Bruch darstellen Meine Frage: Hallo Leute, es ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sqrt[k]{x} \end{eqnarray}$ nicht als Bruch darstellbar ist. ( $\begin{eqnarray} k,x \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , wobei es kein $\begin{eqnarray} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gibt, mit $\begin{eqnarray} x=z^k \end{eqnarray}$ ). Meine Ideen: Ich würde es über einen Widerspruchsbeweis machen. Ich kenne den Beweis dafür, dass Wurzel 2 irrational ist, allerdings weiß ich nicht genau, wie ich das transferieren soll. Wäre toll, wenn ihr mir helfen würdet! LG
16.04.2014, 19:35	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-te Wurzel lässt sich nicht als Bruch darstellen hallo, man kann den bekannten beweis für die irrationalität von wurzel 2 tatsächlich problemlos übertragen; man setzt x^(1/k)=a/b mit a,b el.von N und a/b bruch in gekürzter darstelllung. Dann gilt ... jetzt überleg mal weiter gruss ollie3
22.04.2014, 12:46	mathemäuschen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-te Wurzel lässt sich nicht als Bruch darstellen Naja, es gilt dann $\begin{eqnarray} x=\frac{a^k}{b^k} \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} a^k=xb^k \end{eqnarray}$ aber ich kann ja dann schlecht folgern, dass a gerade ist... aber was kann ich folgern?
22.04.2014, 13:13	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-te Wurzel lässt sich nicht als Bruch darstellen hallo, ...ja, und a/b war ja ein gekürzter bruch, das heisst a und b haben keinen gemeinsamen primfaktor mehr, und wenn a^k=xb^k gilt, dann muss ja jeder primfaktor von a^k in x liegen, dass heisst also a^k = x^k, und das sollte ja nach vorrossetzung eben nicht gelten, und schon haben wir den gewünschten widerspruch. gruss ollie3

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