Existenz zweiter Tangente begründen |
| 16.04.2014, 18:46 | Levaru | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Existenz zweiter Tangente begründen Gegeben ist die Funktion f(x)= 4 * x^2 * e^(-x) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t an G im Punkt P(1|f(1)) Berechnen Sie die Größe des Winkels a, den t mit der positiven x-Achse bildet. Begründen Sie auf Grund Ihrer bisher ermittelten Ergebnisse anschaulich, dass es eineweitere Tangente an den Graphen G geben muss, die einen Steigungswinkel mit der gleichen Größe wie a hat. Den ersten Teil der Aufgabe habe ich bereits erledigt und bekomme als Ergebnis folgendes heraus: t(x)= (4/e)*x bzw. t(x)= 1.4715*x Was ich nicht verstehe ist wie ich den jetzt anschaulich begründen soll das es noch eine weitere Tangente gibt mit der gleichen Steigung. Ich habe es vorher rechnerisch ausprobiert und kam in eine Sackgasse die nur mit einem Annäherungsverfahren lösbar ist was hier nicht erwünscht war. Meine Ideen: Die Kurve in einen Graph zeichnen, die Tangente parallel solange verschieben bis sich eine weitere Stelle findet in der t(x) tangetial zu f(x) ist? Das kommt mir aber sehr "pfuschig" vor. |
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| 16.04.2014, 20:07 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zwischen 0 und 1 gibt es einen Wendepunkt. bei x cirka 0.1 müsste nochmals dieselbe Steigung existieren |
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| 16.04.2014, 20:38 | Levaru | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es existiert ein Wendepunkt an W1(0,586|0,764). (und der Punkt der zweiten Tangente liegt bei x=0.286) Ist folgende Begründung für eine zweite Tangente also richtig?: Es muss sich eine zweite Tangente, mit der gleichen Steigung, im Intervall [0;0,586] befinden da sich die erste Tangente zwischen der ersten Wendestelle und dem lokalem Maximum befindet. Folglich befindet sich die zweite Tangente zwischen dem lokalen Minimum und der ersten Wendestelle. 
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| 16.04.2014, 20:49 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich würde noch hinzufügen: Es muss sich eine zweite Tangente, mit der gleichen Steigung, im Intervall [0;0,586] befinden da sich die erste Tangente zwischen der ersten Wendestelle (=Maximum der Steigung ) und dem lokalem Maximum (=Nullstelle der Steigung )befindet. Folglich befindet sich die zweite Tangente zwischen dem lokalen Minimum (=Nullstelle der Steigung ) und der ersten Wendestelle. |
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| 16.04.2014, 21:06 | Levaru | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok vielen Dank jetzt ist mir auch klar wie man so etwas begründet. Um jetzt auch noch kurz meine Vermutung prüfen warum das so ist... Die Wendestelle "spiegelt" mehr oder weniger die Kurve zwischen den Extremstellen, richtig? Wenn also zwischen den beiden Punkten eine Tangente ist muss auch eine auf der anderen Seite sein. |
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| 16.04.2014, 22:11 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nun das Spiegelbildliche stimmt streng genommen nicht, aber lokal gut brauchbar. Genauer: die Ableitung hat 2 Nullstellen und dazwischen ein rel. Maxima. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es dann immer 2 Stellen mit demselben Funktionswert. |
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| 16.04.2014, 23:10 | Levaru | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok also so läuft das. Zeichnerisch: Erste Tangente an der Funktion bestimmen. Erste Ableitung der Funktion zeichnen. Gucken wo t1(x) auf diesem Graphen liegt. Gucken ob links oder rechts auf der gleichen Höhe noch so ein Punkt liegen kann. Wenn ja: es gibt andere Tangenten Wenn nein: gibt es nur eine Rechnerisch: Grad besprochen... Das mit dem Zwischenwertsatz kannte ich noch nicht, werd ich wohl auffrischen müssen. Vielen Dank für die Antwort! Der Thread wäre für mich hiermit eig. geschlossen. |
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| 17.04.2014, 08:50 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schade, daß du noch einen 2. Thread aufgemacht hast. 
Eine andere Begründung findest du hier: Wie löse ich diese Art von Gleichung? |
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