Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen

17.04.2014, 16:25	Kimi83	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen Meine Frage: Hi Leute, ich hab mal ne Frage, ob ich mir das hier richtig denke.... Wenn ich ein Gleichungssystem habe, z.B. sowas wie $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und ich soll beweisen das dieses Gleichungssystem keine Lösung hat, dann verstehe ich das so.... Meine Ideen: Zunächst mal mache ich aus den beiden linken Matrizen ja eine durch Multiplikation... Dann habe ich: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1x_{1} & 1x_{2} & 0x_{3} \\ 0x_{1} & 0x_{2} & 0x_{3} \\ 1x_{1} & 0x_{2} & 1x_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sprich das gewohnte Bild... So jetzt muss ich eigentlich nur versuchen das Gegenteil zu beweisen, sprich das es eine Lösung gibt. Deshalb gehe ich jetzt mit Gauß vor und versuche die x1, x2, x3 rauszubekommen.... Bevor ich hier jetzt ran gehe, ist das bisher das richtige Vorgehen? Oder bin ich schon komplett auf dem Holzweg? :-) grü0ße Kim
17.04.2014, 16:43	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen Du interpretierst da etwas falsch. Die linke Seite wäre in ausgerechneter Form der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_{1} + x_{2} \\ 0 \\ x_{1} + x_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Ausrechnen empfiehlt sich aber nur, wenn Du erst am Anfang der Matrizenrechnung stehst. Auf Hochschulniveau wird der Gauß an der Matrix durchgeführt mit dem Ziel eine Zeilenstufenform zu erreichen und die ist hier auf ziemlich einfache Weise zu bekommen.
17.04.2014, 17:07	Kimi83	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen Hallo Helferlein, danke schonmal für die Antwort. Ich frage mich allerdings wo genau der Unterschied liegt, zwischen dem was ich geschrieben habe und dem was du geschrieben hast?? Wenn du meine ausgerechnete Form nimmst: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1x_{1} & 1x_{2} & 0x_{3} \\ 0x_{1} & 0x_{2} & 0x_{3} \\ 1x_{1} & 0x_{2} & 1x_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist die doch nichts anderes als deine ausgerechnete Form: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_{1} + x_{2} \\ 0 \\ x_{1} + x_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nur das bei mir noch die 0er $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ drin stehen?!? wenn ich die aus meiner rauslasse, was ich ja sowieso tun muss hab ich es doch richtig gemacht? Dann habe ich ja schon gesagt das ich als nächstes per Gauß die Matrix umstelle, um per Eliminierungsverfahrendie unbekannten Variablen zu lösen... Da ist dann auch kein Unterschied zu deinem Ansatz oder? Oder sehe ich hier doch etwas falsch?
17.04.2014, 17:39	Kimi83	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen Mal angenommen ich nehme die eben von Helferlein benannte Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_{1} + x_{2} \\ 0 \\ x_{1} + x_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Um zu beweisen das es eine Lösung für das Gleichungssystem gibt muss ich im Grunde nur beweisen: x1 + x2 = 1 x1 + x3 = 3 Wenn ich jetzt sage, x1 = 0, x2 = 1 und x3 = 3, habe ich ja 0 + 1 = 1 0 + 3 = 3 In diesem Fall hat die Gleichung eine Lösung und ich habe die Aussage das diese Gleichung keine Lösung hat widerlegt.... Reicht das aus? ja oder? Wäre nett wenn du mir nochmal hilfst Helferlein :-) grüße Kim
17.04.2014, 18:03	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Unterschied liegt darin, dass Du eine Matrix aufgeschrieben hast, die Einträge enthält, die von den x-Werte abhängen und nach wie vor das Format 3x3 hat. Richtiger Weise ist das Ergebnis aber ein dreidimensionaler Vektor, so wie ich ihn aufgeschrieben habe. Sollte es nur darum gehen, die Aussage zu widerlegen, dann bist Du mit einem Gegenbeispiel natürlich fertig. Falls die Aussage aber unvollständig wiedergegeben wurde (Die Formulierung "beweisen sie" ist zumindest unglücklich, wenn es gar nichts zu beweisen gibt) und es möglicherweise heisst "keine eindeutige Lösung hat", dann solltest Du den kompletten Lösungsraum ausrechnen oder zumindest eine zweite Lösung angeben.
17.04.2014, 18:18	Kimi83	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Gleichungssysteme Anzahl der Lösungen Hi Helferlein.... alles klar, vielen dank für deine Hilfe. Werde mir das nochmal besser ansehen, in Bezug auf den 3D Vektor. Eine Frage noch... Wenn jetzt eine Frage gestellt würde, ob eine ähnliche Gleichung wie oben benannt unendlich viele Lösungen hat... Wie geht man sowas an? Also wie kann ich da am besten einen Nachweis bringen, ob es so ist oder nicht? Kannst du mir da auch nen Tip geben? grüße Kim
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17.04.2014, 18:39	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hängt davon ab, was ihr verwenden dürfte. Wenn beispielsweise schon bekannt ist, wie man über den rang der Matrix argumentieren kann, läuft es auch wieder auf Gauß hinaus. Alternativ könnte man das GLS komplett lösen, um die Anzahl der Lösungen herauszufinden.

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