Diskrete Maße

17.04.2014, 17:48

h4mmer

Diskrete Maße

Hallo zusammen,

Ich habe eine Familie $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ von diskreten Wahrscheinlichkeitsmaßen auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, B) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist die Borelsche SA.

Ist dann die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{x:\, \exists\,P\in F:\, P(x)>0\right\} \end{eqnarray*}$ immer abzählbar?

Mmn schon, denn ein diskretes W-Maß ist doch nur an abzählbar vielen Stellen ungleich Null.
Die Vereinigung all dieser Menge zu den jeweiligen W-Maßen aus F ist dann als Vereinigung abzählbarer Mengen wiederum abzählbar.

Ich würde mich über eure Kommentare freuen,

Viele Grüße.

17.04.2014, 18:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von h4mmer
Ist dann die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{x:\, \exists\,P\in F:\, P(x)>0\right\} \end{eqnarray*}$ immer abzählbar?

Kommt drauf an, was dein $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ alles umfasst.

Beinhaltet $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ z.B. alle Dirac-Maße $\begin{eqnarray*} \delta_x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , dann ist sofort

$\begin{eqnarray*} \left\{x:\, \exists\,P\in F:\, P(x)>0\right\} = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

erkennbar, also keine Abzählbarkeit.

Anders sieht es natürlich aus, wenn auch dein $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ höchstens abzählbar ist - dann stimmt deine Vermutung.

17.04.2014, 18:18

h4mmer

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Oje, da hatte ich aber ein großer Denkfehler drin, leider ist F nicht abzählbar.

Vielen Dank für deine schnelle Hilfe HAL.

Viele Grüße.

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