Trigonometrische Gleichung

17.04.2014, 17:50

Van Thom

Trigonometrische Gleichung

Ich soll alle $\begin{eqnarray*} x\in[0,2\pi[ \end{eqnarray*}$ finden für $\begin{eqnarray*} 2\sin(x)-\sqrt{2}\cos(x)=2 \end{eqnarray*}$

Meine Idee dazu ist:

Ich umschreibe den $\begin{eqnarray*} sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$ . Demnach erhalte ich die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 1-\cos(2x)-\sqrt{2}\cos(x)=2 \end{eqnarray*}$

Nun benutze ich das Additionstheorem: $\begin{eqnarray*} \cos(2x)=2\cos^2(x)-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-[2\cos^2(x)-1]-\sqrt{2}\cos(x)=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2\cos^2(x)-\sqrt{2}\cos(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(x)[-2\cos(x)-\sqrt{2}]=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt wende ich den Nullproduktsatz an.

$\begin{eqnarray*} \cos(x)=0 oder -2\cos(x)-\sqrt{2}=0 \end{eqnarray*}$

Ich betrachte zuerst $\begin{eqnarray*} \cos(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \arccos(0)=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi+4\pi n}{2} \end{eqnarray*}$

Als nächstes betrachte ich $\begin{eqnarray*} -2\cos(x)-\sqrt{2}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \arccos(-\frac{\pi}{2})=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi (3+8n)}{4} \end{eqnarray*}$

Demnach erhalte ich die beiden Lösungen: $\begin{eqnarray*} x_1=\frac{\pi (1+4n)}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=\frac{\pi (3+8n)}{4} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

Sind meine Lösungen richtig?

17.04.2014, 18:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Van Thom
Ich soll alle $\begin{eqnarray*} x\in[0,2\pi[ \end{eqnarray*}$ finden für $\begin{eqnarray*} 2\sin(x)-\sqrt{2}\cos(x)=2 \end{eqnarray*}$

Meine Idee dazu ist:

Ich umschreibe den $\begin{eqnarray*} sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$ . Demnach erhalte ich die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 1-\cos(2x)-\sqrt{2}\cos(x)=2 \end{eqnarray*}$

Das würde allenfalls dann stimmen, wenn die Originalgleichung

$\begin{eqnarray*} 2\sin^2(x)-\sqrt{2}\cos(x)=2 \end{eqnarray*}$

lautet. Hast du dich also oben verschrieben? Ansonsten ist diese Umformung falsch.

17.04.2014, 18:54

Van Thom

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Oh ja genau Hal 9000, die Gleichung lautet $\begin{eqnarray*} 2\sin^2(x)-\sqrt{2}\cos(x)=2 \end{eqnarray*}$
Also ist meine Lösung richtig?

17.04.2014, 19:03

HAL 9000

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Der Umweg über $\begin{eqnarray*} \cos(2x) \end{eqnarray*}$ ist an sich unnötig, denn bereits mit dem trigonometrischen Pythagoras $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ kommt man auf

$\begin{eqnarray*} 2-2\cos^2(x)-\sqrt{2}\cos(x)=2 \end{eqnarray*}$

und dann auf deine Faktorisierung

$\begin{eqnarray*} -2\cos(x) \left[\cos(x) + \frac{\sqrt{2}}{2} \right] = 0 \end{eqnarray*}$

Bei der Auflösung hast du dann allerdings die Hälfte der Lösungen "vergessen":

$\begin{eqnarray*} \cos(x)= 0 \end{eqnarray*}$ heißt $\begin{eqnarray*} x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \cos(x)= -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ heißt $\begin{eqnarray*} x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \end{eqnarray*}$ .

17.04.2014, 20:00

Van Thom

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Alles klar, vielen dank! smile

17.04.2014, 20:23

Helferlein

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RE: Trigonometrische Gleichung
Kurze Anmerkung: Der n-Summand ist arg eingeschränkt, sofern Thom die volle Fragestellung widergegeben hat.

Zitat:

Original von Van Thom
Ich soll alle $\begin{eqnarray*} x\in[0,2\pi[ \end{eqnarray*}$ finden ...

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