Ordnung von GL(n,F) mit F als endlichen Körper

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17.04.2014, 18:48

Naga

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Ordnung von GL(n,F) mit F als endlichen Körper

Meine Frage:
Hallihallo smile

das Sommersemester hat begonnen und das große Rätseln geht wieder los smile

In der ersten Algebra-Übung habe ich jedoch ein kleines Problem:

Erstmal die Aufgabenstellung:

Sei F ein endlicher Körper mit Ordnung q (z.B. Z/pZ mit p=prim Zahl). Zeigen Sie, dass |GL(n,F)|=pi(von k=0; bis n-1)((q^n)-(q^k)) .
Hinweis: |F^n|=q^n, und jedes Element von GL(n,F) hat n Spalten von F^n. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die r-te Spalte, wenn die 1. bis zu (r-1)-ten Spalte bereits vergeben sind?

Meine Ideen:
Meine bisherigen Ideen waren folgende:

Betrachten wir statt GL sämtliche Matritzen M(n,F) gibt es q^n^2 Möglichkeiten. Aus diesen müssen wir jetzt aber sämtliche nicht invertierbaren Matritzen "aussortieren".
Da sobald eine ganze Nullzeile oder Nullspalte auftaucht die Matrix nicht mehr invertierbar ist entfallen schonmal n^2 Fälle.

Meine Überlegungen zum Hinweis: Angenommen ich habe die ersten r-1 Spalten besetzt mit irgendwelchen Einträgen aus q, wie muss meine r-te Spalte aussehen, bzw. wie darf sie nicht aussehen?
Nullspalte ist ja bereits ausgeschlossen; nur was entfällt weiter? Wie viele Einträge müssen von Null verschieden sein? Ich hätte jetzt gedacht, dass lediglich nur ein Eintrag von Null verschieden sein muss, aber warum müssen es mehr sein? Aus der Formel wird ja ersichtlich, das für jede Spalte multiplikativ q verschwinden (erste Zeile entfällt ein Fall; für die Zweite q "Stück"; für die Dritte bereits q^2 "Stück"; für die Vierte q^3 "Stück" usw.) Nur warum ist dies so?

Habe versucht in die Richtung Diagonalisierbarkeit/ Trgonalisierbarkeit zu denken, jedoch dürfte mich dass ja nicht weiter bringen, da ich ja dann zwar die gleiche Abbildung nach Basiswechsel betrachte aber verschiedene Einträge habe. Und da jede invertierbare Matrix diagonalisierbar ist hätte ich ja dann nur noch n Einträge in der gesamten Matrix die von Null verschieden sind. Hiermit würde ich auf (q-1)^n einträge kommen. Dies ist aber wie man sieht viel zu wenig, also ist dies wohl eher ein Irrweg (oder nicht?).

Hoffe mir kann jemand einen kleinen Wink mit dem Zaunpfahl geben =)
LG und frohe Ostern
Naga =)

17.04.2014, 20:41

helfer123

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Hallo,

eine invertierbare Matrix ist ja nichts anderes als eine geordnete Basis von $\begin{eqnarray*} F^n \end{eqnarray*}$ . Es würde also Sinn machen, ein wenig von der Matrixvorstellung wegzukommen und die verschiedenen Basen kombinatorisch abzuzählen. Überlege dir, wie viel Möglichkeiten du für die Wahl des $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Basisvektors hast, wobei $\begin{eqnarray*} 1 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße!

18.04.2014, 20:48

breezy

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hey danke für die Antwort, coole Idee das ganze als Basis zu betrachten, das hat mich schon Mal ein bisschen weiter gebracht smile

ich glaube mit deinem hinweis bin ich der Lösung schon fast auf die Schliche gekommen:

betrachten wir das ganze mal für den zweiten Vektor bevor wir auf den i-ten schließen:

also, der erste Vektor v_{1} ist fix, somit entfallen für den zweiten Vektor jegliche Vielfache des ersten Vektors, da eine Basis linear Unabhängig sein muss. Ebenfalls entfällt wieder der Nullvektor. Somit bin ich bisher bei 2 Vektoren+ k , wobei k die Anzahl der Vielfachen des ersten Vektors (ausschließlich diesem) sind.
Da die Ordnung meines Körpers F gerade q ist, heißt das, dass für jedes Element x aus F gilt: x^q=x richtig? Da mein Vektor v_{1} aus n-Einträgen aus F besteht gilt also auch für den gesammten Vektor (v_{1})^q=v_{1}. Demnach gibt es für diesen ersten Vektor q-1 Vielfache die für den zweiten Vektor entfallen.

Also bin ich jedoch irgendwie bei q+1 Vektoren gelandet die entfallen und nicht bei q "Stück"... irgendwie hab schließe ich einen zuviel aus...

bei meiner Betrachtung würden dann beim 3. analog gerechnet q^2+1 entfallen und nicht q^2...

beim i-ten wären es dann (q^(i-1))+1 nach meiner Rechnung...

Wo liegt mein Fehler?
ich vermute mal dass es was mit dem Nullvektor zu tun hat?! wenn ich den "rauskicke" aus der Überlergung würds ja passen; aber warum kann ich dies machen (wenn ich dies machen muss)? dieser darf in der Matrix/ Basis nicht auftauchen sonst ist sie ja nicht invertierbar bzw. überhaupt keine Basis

nochmal vielen lieben dank für die Hilfe, kann dank dir die Lösung schon förmlich auf der Zunge schmecken smile

Frohe Ostern, Liebe Grüße

19.04.2014, 10:57

Helfer123

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Hallo,

Vorsicht!

Wenn du deinen ersten Basisvektor $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ fix wählst und dein Körper $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ , aus dem die Skalare kommen, hat $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ Elemente (insbesondere ist in diesen $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ Elementen auch die $\begin{eqnarray*} 0 \in F \end{eqnarray*}$ enthalten), dann musst du den zweiten Basisvektor $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig zu $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ wählen. Das bedeutet, $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ ist kein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ . Konkret aufgeschrieben heißt dies: $\begin{eqnarray*} v_2 \neq \lambda v_1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in F \end{eqnarray*}$ .

Wie viele Möglichkeiten hast du also für $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ ?

Versuche das mal zu verallgemeinern. smile

Zitat:

Da die Ordnung meines Körpers F gerade q ist, heißt das, dass für jedes Element x aus F gilt: x^q=x richtig? Da mein Vektor v_{1} aus n-Einträgen aus F besteht gilt also auch für den gesammten Vektor (v_{1})^q=v_{1}. Demnach gibt es für diesen ersten Vektor q-1 Vielfache die für den zweiten Vektor entfallen.

Den Teil hier verstehe ich nicht. Das mit $\begin{eqnarray*} x^q = x \end{eqnarray*}$ stimmt, hat aber mit der Aufgabe nicht sonderlich viel zu tun. Warum du dann aber einen Vektor hoch $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ nimmst, verstehe ich nicht. Verwechselst du "Vielfache" mit "Potenz"?

Viele Grüße und frohe Ostern!

19.04.2014, 12:32

breezy

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Habe da wohl zu sehr in Richtung Permutationen gedacht und angenommen, dass eine Multiplikation des Vektors mit sich selbst quasi dem Vielfachen bezüglich der Gruppenverknüpfung entspricht... hier trotzdem kurz die Aussage die ich gemeint hatte mal formal korrekt aufgeschrieben
Da für jedes Element $\begin{eqnarray*} x \in F \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} x^{q}=x \end{eqnarray*}$ , muss auch für den gesammten Vektor $\begin{eqnarray*} v_{1} \in F^{n} \end{eqnarray*}$ gelten: $\begin{eqnarray*} v_{1}^{q}=v_{1} \end{eqnarray*}$ , weil :
Da die Potenz ja nichts anderes heißt als dass ich den Vektor q-Mal mit sich selbst multipliziere kann ich den Exponenten in den Vektor "reinziehen" / auf jede Komponete anwenden: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}^{q} = \begin{pmatrix} a_1^{q} \\ a_2^{q} \\ a_3^{q} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
nun habe ich im Vektor für jeden Eintrag die Bedingung $\begin{eqnarray*} x^{q}=x \end{eqnarray*}$ verwendet und habe deshalb die gesammte Aussage $\begin{eqnarray*} v_{1}^{q} = v_{1} \end{eqnarray*}$

die obige Aussage nützt mir ja nur dummerweise nichts, also nochmal von vorn....

Für den ersten Vektor entfällt lediglich der Nullvektor
Für den zweiten entfallen alle Vielfachen des ersten Vektors:

Wenn der Skalar $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ auch aus F ist so gibt es für diesen auch maximal q Möglichkeiten die er annehmen kann. Somit entfallen für den zweiten Vektor q Möglichkeiten (da ich bisher so schön auf dem Nullvektor rumgeritten bin, mach ich mal damit weiter: der ist dieses Mal in diesen q Möglichkeiten mit drin weil ja die 0 in F sein muss)!

Dann gilt für den 3. Vektor:
Es gibt zwei Skalare $\begin{eqnarray*} \lambda_{1},\lambda_{2} \in F \end{eqnarray*}$ die beide wieder jeweils q Vielfache haben. Also entfallen q^2 Möglichkeiten.

.
.
.

Also folgt für den i-ten Vektor:
Es gibt (i-1) Skalare aus F mit jeweils q Vielfachen. Es entfallen q^(i-1) Möglichkeiten.

Hiermit kann ich ja direkt auf die Formel schließen. Evtl das ganze noch mit vollst. Induktion absichern?! Obwohl eigentlich ist es ab hier ja relativ offensichtlich...

Verbleibt nur noch eine Frage... Wieso ist $\begin{eqnarray*} \lambda \in F \end{eqnarray*}$ ?
Dies folgt aus der "Abgeschlossenheit" des Körpers.
Wir wollen ja alle Möglichkeiten ausschließen, womit die Vektoren nicht mehr linear unabhängig sind.
Da jeder Eintrag aus F sein muss(!) gilt, dass der gesamte Vektor aus F^n ist.
Multiplizieren wir diesen Vektor wiederum mit einem Skalar aus einer beliebigen Menge K, so können wir diesen Skalar in jeden Eintrag reinziehen.
Da jeder Eintrag aus F sein muss gilt für ein vielfaches des Eintrages dass dieser entweder aus F ist oder nicht. Ist das Vielfache des Eintrages nicht aus F so entfällt diese Möglichkeit von vornherein weil ja jeder Eintrag aus F sein muss (anders gesagt: das Produkt aus Skalar und Eintrag MUSS!!! aus F sein, nach definition der Matrix), 2. Fall Vielfaches vom Eintrag ist aus F, dann muss der Skalar aus F sein, weil der Körper abgeschlossen sein muss...
=> Skalar muss aus F sein <=> K=F

so müsste das ganze doch jetzt hinhauen smile

Viele lieben Dank für deine Mühe und die nützlichen Tipps smile

Frohe Ostern & LG

20.04.2014, 11:15

Helfer123

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Zitat:

Original von breezy
Habe da wohl zu sehr in Richtung Permutationen gedacht und angenommen, dass eine Multiplikation des Vektors mit sich selbst quasi dem Vielfachen bezüglich der Gruppenverknüpfung entspricht... hier trotzdem kurz die Aussage die ich gemeint hatte mal formal korrekt aufgeschrieben
Da für jedes Element $\begin{eqnarray*} x \in F \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} x^{q}=x \end{eqnarray*}$ , muss auch für den gesammten Vektor $\begin{eqnarray*} v_{1} \in F^{n} \end{eqnarray*}$ gelten: $\begin{eqnarray*} v_{1}^{q}=v_{1} \end{eqnarray*}$ , weil :
Da die Potenz ja nichts anderes heißt als dass ich den Vektor q-Mal mit sich selbst multipliziere kann ich den Exponenten in den Vektor "reinziehen" / auf jede Komponete anwenden: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}^{q} = \begin{pmatrix} a_1^{q} \\ a_2^{q} \\ a_3^{q} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
nun habe ich im Vektor für jeden Eintrag die Bedingung $\begin{eqnarray*} x^{q}=x \end{eqnarray*}$ verwendet und habe deshalb die gesammte Aussage $\begin{eqnarray*} v_{1}^{q} = v_{1} \end{eqnarray*}$

In einem Vektorraum darfst du keine Vektoren miteinander multiplizieren, das ist in den Axiomen eines Vektorraums nicht festgelegt.

Zitat:

Original von breezy
Für den ersten Vektor entfällt lediglich der Nullvektor
Für den zweiten entfallen alle Vielfachen des ersten Vektors:

Wenn der Skalar $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ auch aus F ist so gibt es für diesen auch maximal q Möglichkeiten die er annehmen kann. Somit entfallen für den zweiten Vektor q Möglichkeiten (da ich bisher so schön auf dem Nullvektor rumgeritten bin, mach ich mal damit weiter: der ist dieses Mal in diesen q Möglichkeiten mit drin weil ja die 0 in F sein muss)!

Dann gilt für den 3. Vektor:
Es gibt zwei Skalare $\begin{eqnarray*} \lambda_{1},\lambda_{2} \in F \end{eqnarray*}$ die beide wieder jeweils q Vielfache haben. Also entfallen q^2 Möglichkeiten.

.
.
.

Also folgt für den i-ten Vektor:
Es gibt (i-1) Skalare aus F mit jeweils q Vielfachen. Es entfallen q^(i-1) Möglichkeiten.

Das passt. smile

Zitat:

Original von breezy
Hiermit kann ich ja direkt auf die Formel schließen. Evtl das ganze noch mit vollst. Induktion absichern?! Obwohl eigentlich ist es ab hier ja relativ offensichtlich...

Kann man machen, muss man hier aber finde ich nicht.

Zitat:

Original von breezy
Verbleibt nur noch eine Frage... Wieso ist $\begin{eqnarray*} \lambda \in F \end{eqnarray*}$ ?

Das liegt einfach daran, dass $\begin{eqnarray*} F^n \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ -Vektorraum ist und somit die Skalare aus $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ kommen.

Zitat:

Original von breezy
so müsste das ganze doch jetzt hinhauen smile

Viele lieben Dank für deine Mühe und die nützlichen Tipps smile

Frohe Ostern & LG

Kein Problem und danke, ebenso! smile

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