Nicht-Isolierte Singularität

18.04.2014, 07:56	xherdan	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht-Isolierte Singularität Hallo, in meinem Skript steht als Beispiel einer nicht-isolierten Singularität die Funktion $\begin{eqnarray} \tan(\frac{1}{x}) \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ . Dies ergibt auch Sinn, insbesondere wenn ich daran denke, dass $\begin{eqnarray} \tan(\frac{1}{0}) \end{eqnarray}$ für "kleine x sehr stark zu oszillieren" beginnt. Es ist daher anschaulich, dass im Ursprung beliebig viele Singularitäten beliebig nahe beieinander liegen, wodurch man keine isolierte Singularität im Ursprung hat. Meine Frage ist nun folgende. Warum haben die Funktionen $\begin{eqnarray} \sin(\frac{1}{x}) \text{ und } \cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray}$ keine isolierten Singularitäten im Ursprung, wo doch auch $\begin{eqnarray} \sin(\frac{1}{x}) \text{ und } \cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray}$ im Ursprung bliebig fest oszillieren. Vielen Dank für eure Tipps xherdan
20.04.2014, 11:06	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht-Isolierte Singularität Das Oszillieren deutet eher auf eine wesentliche Singularität hin, nicht auf eine nicht isolierte. Dass die Null keine isolierte Singularität von $\begin{eqnarray} \tan\frac1z \end{eqnarray}$ ist, liegt daran, dass er in jeder Umgebung der Null weitere Singularitäten hat (wo?). Etwas wie $\begin{eqnarray} \sin\frac1z \end{eqnarray}$ ist aber überall außerhalb der Null wunderbar wohldefiniert.

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