Integral mit Substitution berechnen

18.04.2014, 10:47

dela86

Integral mit Substitution berechnen

Meine Frage:
Hallo,
ich habe mich schon an dieser Aufgabe versucht aber ich komme zu keinem hilfreichen Schritt der mich weiterbringt. Das größte Problem stellt die vorgegebene Substitution dar welche ich nicht nachvollziehen kann. Wie bekomme ich es hin, dass $\begin{eqnarray*} t=\pi -x \end{eqnarray*}$ ist obwohl $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ja als obere Grenze angegeben ist und ich diese ja eigentlich für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ja später einsetzen sollte.
Bin für jede Hilfe dankbar smile

Meine Ideen:
noch keine

18.04.2014, 13:38

HAL 9000

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Wieso "obwohl" ???

Substitution $\begin{eqnarray*} t=\pi-x \end{eqnarray*}$ transformiert die untere Integralgrenze $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} t_1=\pi \end{eqnarray*}$ sowie die obere Integralgrenze $\begin{eqnarray*} x_2=\pi \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} t_2=0 \end{eqnarray*}$ . Anschließend kannst du ja dann wieder die Integralgrenzen vertauschen gemäß Regel

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{t_1}^{t_2} g(t) ~ \dd t = -\int\limits_{t_2}^{t_1} g(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ .

Ist das das Problem, oder was sonst?

18.04.2014, 13:53

dela86

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ja die transformierten Integralgrenzen sind ja nicht das Problem, sondern das Integral an sich. Wie sieht denn das Integral aus wenn die Substitution gemacht wurde? verwirrt

bzw wie muss ich es denn umformen um die Subst. durchzuführen

18.04.2014, 23:32

dela86

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jemand noch nen Tipp?

18.04.2014, 23:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von dela86
Wie sieht denn das Integral aus wenn die Substitution gemacht wurde?

Dem Charakter der Aufgabe nach zu urteilen ist es sicher nicht die erste Aufgabe zu Substitution, die du gestellt bekommen hast. Deswegen ist es etwas befremdlich, dass du hier keinen Handschlag tust und entgegen dem Boardprinzip erwartest, dass dir hier alles haarklein vorgeführt wird.

Es ist ja nicht so, dass du hier im ersten Schritt selbst auf die Substitution kommen musst - nein, sie wurde dir mit $\begin{eqnarray*} t=\pi-x \end{eqnarray*}$ sogar vorgegeben. Also zeig endlich mal deine Überlegungen!

19.04.2014, 09:19

dela86

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Ich habe bis her noch keine ähnlichen Substitutionen machen müssen, nur welche bei denen man es relativ schnell erkannt hat und das waren 2 Aufgaben.
Ich will keine Lösung sondern einen Ansatz um zu verstehen wie man denn überhaupt auf so eine Form der Substitution kommt. Ich verstehe nicht wie das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ eine Rolle spielen kann ich müsste ja irgendwie den Bruch damit erweitern aber damit komme ich zu keinem Ergebnis.

19.04.2014, 10:15

dela86

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Ich bekomme das einfach nicht ansatzweise umgeformt um damit die Subst. durchführen zu können. Habs mit $\begin{eqnarray*} \sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2}-x) \end{eqnarray*}$
und ähnlichen versucht um das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ mit ins Spiel zu bringen aber erfolglos

21.04.2014, 21:12

HAL 9000

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Also ehrlich: Was ist denn so schwer daran, die Substitutionsvorschrift $\begin{eqnarray*} t=\pi-x \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} x=\pi-t \end{eqnarray*}$ umzuformen, dies abzuleiten $\begin{eqnarray*} \dd x = -\dd t \end{eqnarray*}$ , und dies dann alles einzusetzen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\pi} \frac{x\sin(x)}{1+\cos^2(x)} ~ \dd x = -\int\limits_{\pi}^0 \frac{(\pi-t)\sin(\pi-t)}{1+\cos^2(\pi-t)} ~ \dd t = \int\limits_0^{\pi} \frac{(\pi-t)\sin(\pi-t)}{1+\cos^2(\pi-t)} ~ \dd t \end{eqnarray*}$

Um nichts anderes geht es zunächst bei der Durchführung der Substitution!!! Anschließend kann man daran gehen, die Winkelfunktionsterme zu vereinfachen, unter Beachtung der diversen Symmetrien, die es da gibt.

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