Anfangswertproblem mit maximalem Intervall für Lösung

18.04.2014, 12:31

crystalmathe

Anfangswertproblem mit maximalem Intervall für Lösung

Meine Frage:
Hallo, ich soll für diese Glg:

$\begin{eqnarray*} \dot{x} = (1+3t^2)x \quad , x(1) = 1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Dabei habe ich trennung der Variablen gemacht, integriert und bin auf folgende Lösung gekommen:

$\begin{eqnarray*} t + \frac{3}{2} t^2 = \log{x(t)} - \log{x(0)} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich ja nur noch auf x(t) umstellen und dann habe ich eine Lösung gefunden oder? Was mache ich dann mit dem gegebenen Anfangswert... Lg

18.04.2014, 12:53

zyko

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RE: Anfangswertproblem mit maximalem Intervall für Lösung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \dot{x} = (1+3t^2)x \quad , x(1) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t + \frac{3}{2} t^2 = \log{x(t)} - \log{x(0)} \end{eqnarray*}$

Was ist das Integral von $\begin{eqnarray*} \int 3t^2 dt \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Jetzt muss ich ja nur noch auf x(t) umstellen und dann habe ich eine Lösung gefunden oder? Was mache ich dann mit dem gegebenen Anfangswert... Lg

Du hast in deiner Lösung die Integrationskonstante x(0). Diese wird durch die Anfangsbedingung bestimmt.

18.04.2014, 12:58

crystalmathe

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Oh Sorry,
das Integral ist natürlich:

$\begin{eqnarray*} t^3 \end{eqnarray*}$

Ja aber die anfangsbedingung ist doch $\begin{eqnarray*} x(1) = 1 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} x(0) = ? \end{eqnarray*}$

heißt das dann, dass die Integration bei t=1 anfängt?

Lg

18.04.2014, 13:04

crystalmathe

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Dann komme ich auf :

$\begin{eqnarray*} x(t) = e^{t^3 +t} \end{eqnarray*}$

Dadurch kann ich sagen, dass das maximale Intervall von - oo bis + oo geht, weil x(t) nicht null werden darf, aber ja die e funktion nur für -oo gegen null geht.

Lg

18.04.2014, 13:17

zyko

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Bei der Integration musst du auf einer Seite eine Integrationskonstante einführen. Diese wird so berechnet, dass x(1)=1 wird.
Für deine Lösung gilt aber $\begin{eqnarray*} x(1)=e^2 \end{eqnarray*}$

18.04.2014, 14:29

crystalmathe

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Ok habe die Lösung :

$\begin{eqnarray*} e^{t^3 +t -2} = x(t) \end{eqnarray*}$

rausbekommen.

Stimmt die denn so?

19.04.2014, 12:09

zyko

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Ich bevorzuge die Schreibweise
$\begin{eqnarray*} x(t)=e^{-2}e^{t^3 +t} \end{eqnarray*}$
Zur Überprüfung der Richtigkeit noch $\begin{eqnarray*} \dot{x} \end{eqnarray*}$
bilden, anschließend x(t) und die Ableitung in die ursprüngliche DGL einsetzen, so dass darin nur noch t vorkommt. Falls die Lösung stimmt heben sich alle Terme auf.

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