Lokale Lipschitzbedingung gegeben?

18.04.2014, 14:40	HPeter	Auf diesen Beitrag antworten »
Lokale Lipschitzbedingung gegeben? Hallo, ich will die Differentialgleichung $\begin{eqnarray} y'=\cos(\sqrt{\|y\|}),y(x_0)=y_0 \end{eqnarray}$ auf Lösbarkeit und Eindeutigkeit der Lösung untersuchen. Die Existenz einer Lösung ist mit dem Satz von Peano abgehakt, die Eindeutigkeit bekomme ich mit Picard-Lindelöf zumindest lokal für alle Anfangswerte ungleich 0, da die Funktion dann stetig partiell differenzierbar ist. Wie ist das aber beim Anfangswert 0, da kann ich ja nicht partielle differenzieren, wie kann man da vorgehen?
18.04.2014, 14:48	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, schau Dir die Taylorentwicklung von cos an und setze die Wurzel ein. Was stellst Du fest? Alles liebe, dr.morrison
18.04.2014, 15:32	HPeter	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \cos(\sqrt{y})=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac {(\sqrt{y})^{2k}}{(2k)!}=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac {\|y\|^k}{(2k)!} \end{eqnarray}$ , meinst du so? Aber was kann ich damit aussagen? Edit: LaTeX korrigiert. LG Iorek
19.04.2014, 09:15	HPeter	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß sonst niemand etwas?
19.04.2014, 10:35	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Mein Beitrag sollte Dir nur zeigen, dass die Funktion sich etwa wie $\begin{eqnarray} 1-\frac{1}{2}\|y\| \end{eqnarray}$ fuer kleine y. Du kannst etwa weg von der Null die Differenzierbarkeit ausnutzen und ueber den Mittelwertsatz argumentieren. Alles Liebe, dr.morrison
21.04.2014, 10:11	HPeter	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube mit dem Mittelwertsatz könnte ich etwas gefunden haben: Für $\begin{eqnarray} y>0 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \frac {\cos(\sqrt{y})-\cos(0)}{y-0}=\frac {\cos(\sqrt{y})-1}{y-0}= - \frac 1{2\sqrt{y}}\sin(\sqrt{y}) \rightarrow -\frac 12 \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} y\rightarrow 0 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} y<0 \end{eqnarray}$ kommt man aufs gleiche Ergebnis, also ist $\begin{eqnarray} \left\|\frac {\cos(\sqrt{y})-\cos(0)}{y-0}\right\|<\frac 12 \end{eqnarray}$ auf einer Umgebung um $\begin{eqnarray} y=0 \end{eqnarray}$ . Für alle $\begin{eqnarray} y,\overline y \end{eqnarray}$ aus dieser Umgebung ist dann mit obiger Argumentation: $\begin{eqnarray} \|\cos(\sqrt{y})-\cos(\sqrt{\overline y})\|<\frac 12\|y-\overline y\| \end{eqnarray}$ und somit haben wir eine lokale Lipschitzbedingung. Kann das so stimmen?
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »