Funktion x*1_Q riemann-integrierbar? |
| 18.04.2014, 15:02 | Duude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Funktion x*1_Q riemann-integrierbar? ich habe folgende Funktion gegeben: . Dabei soll 1 die Indikatorfunktion sein. Ist f riemann-integrierbar? ich bin mir nicht ganz sicher. Anschaulich würde ich behaupten nein, da ich nur abzählbar viele Punkte habe, die ungleich 0 sind und alle isoliert dastehen und ich beim Riemannintegral ja die Summe von Treppenfunktionen bilde. Diese kann ich aber nicht aufstellen, wenn ich nur über isolierte Punkte integriere. Ist die Begründung richtig oder wie kann ich exakter argumentieren? Ich weiß noch, dass die Funktion lebesgue-integrierbar ist und das Lebesguemaß 0 hat. Aus der Lebesgue-integrierbarkeit kann ich die Riemannintegrierbarkeit aber nicht schließen.. Also hilft mir das auch nicht weiter. Freue mich über Hilfe. lg Duude edit: Ich habe gerade noch versucht über die Stetigkeit zu argumentieren, um zu zeigen, dass f nicht riemann-integrierbar ist. So wie ich es verstanden habe, hilft mir das hier aber nichts, denn: Ist die Menge der Unstetigkeitsstellen der Funktion f eine Lebesguenullmenge (z.B. viele). Dann kann die Funktion f riemann-integrierbar sein. Hier habe ich ja nur Q Punkte, die verschieden von 0 sind, also doch auch Q Unstetigkeitsstellen.. Also erfüllt meine Funktion diese Bedingung und könnte nach dieser Aussage riemann-integrierbar sein.. Also muss es an einer anderen Stelle als der Stetigkeit schiefgehen. |
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| 18.04.2014, 15:34 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Funktion x*1_Q riemann-integrierbar?
Das passt schon mal.
Wieso solltest du nicht Ober- udn Untersumme berechnen können? Du integrierst ja eine Funktion, die nur an abzählbar vielen Punkten ungleich 0 ist, aber dennoch integrierst du diese über das ganze Intervall. Du kannst hier ganz einfach eine Zerlegung wählen (nimm einfach eine gängige) und dann Supremum und Infimum der Funktion auf den Intervallen der Zerlegung bestimmen. Du erhältst dann, dass Ober- und Untersumme nicht gleich sind und somit die Funktion nicht Riemann-integrierbar.
Das stimmt natürlich indes auch beides.
Doch, auch damit kann man hier argumentieren. Es gibt da ein Lebesgue'sches Kriterium für die Riemann-Integrierbarkeit, bei dem man Stetigkeit brauchen kann (steht z.B. auch im Wikipedia-Artikel zum Riemann-Integral). Das funktioniert hier ebenfalls. |
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| 18.04.2014, 16:34 | Duude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hallo magic_hero vielen Dank für deine Antwort. Ich habe das meiste verstanden, aber noch eine Unklarheit bzgl. des Lebesguekriterium.
Ich habe das jetzt mal ausgeführt und so verstanden: Ich wähle eine beliebige Zerlegung (z.B. Intervalle der Länge 1).Als Obersumme erhalte ich stets einen positiven Wert(z.B. 1, 2, 3,...) , als Untersumme jeweils 0, da ich zwischen zwei rationalen Zahlen immer eine irrationale finden kann, also in jedem echten Intervall mindestens eine irrationale Zahl ist. Ober- und Untersumme streben also nicht gegen denselben Grenzwert, wenn ich die Unterteilung immer feiner mache (da die Untersumme immer 0 bleibt und die Obersumme immer echt positiv. Also ist meine Funktion nicht riemann-integrierbar. noch zum Lebesgueschen Kriterium. Da sehe ich nicht, wo es schief geht.. Das Kriterium besagt ja: Eine Funktion f ist nach dem Lebesgue'schen Kriterium für Riemann-Integrierbarkeit genau dann auf dem kompakten Intervall [a,b] Riemann-integrierbar, falls sie auf dem Intervall beschränkt und fast überall stetig ist. Angenommen wir nehmen uns hier ein kompaktes Intervall [0,2]. Dann ist die Funktion immer noch nicht riemann-int, da die Obersumme und die Untersumme, nicht gegen denselben Grenzwert konvergieren. f ist auf dem Intervall beschränkt (sie nimmt ja Werte kleinergleich 2 an). Sie ist fast überall stetig, da sie nur Q Unstetigkeitsstellen hat, und Q eine Lebesguenullmenge ist. Also müsste doch folgen, dass f riemann-integrierbar ist. Wo ist denn hier der Fehler? Oder ist mir fast überall etwa etwas anderes als lebesgue-fast-überall gemeint? |
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| 18.04.2014, 16:42 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hallo, du solltest nochmal überlegen, ob f wirklich nur in Q unstetig ist. |
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| 18.04.2014, 17:29 | Duude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
hmm, also so wie du fragst, müsste f nicht nur in Q sondern auch in R unstetig sein, damit hätte f mehr als eine Lebesguenullmenge an Unstetigkeitsstellen und wäre nicht riemann-integrierbar. Ich sehe aber noch nicht, warum f überabzählbar viele Unstetigkeitsstellen hat.. Also f hat auf jeden Fall Q Unstetigkeitsstellen, denn bei jeder rationalen Zahl springt die Funktion hoch und direkt danach wieder runter. Also habe ich sogar 2Q viele Unstetigkeitsstellen (was aber wieder Q viele sind).. Welche Unstetigkeitsstellen habe ich denn vergessen? ich weiß zwischen zwei rationalen Zahlen liegt immer eine eine irrationale Zahl. Also springe ich wirklich bei jeder rationalen Zahl. Wenn ich zeigen könnte, dass ich bei jeder reellen Zahl springe, wäre ich fertig. Aber zwischen zwei irrationalen Zahlen liegt doch nicht immer eine rationale Zahl, oder? Damit wäre ich fertig.. (aber dann wäre Q ja doch auch überabzählbar, was nicht stimmt.). |
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| 18.04.2014, 17:36 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nur mal generell: Du meinst wohl "abzählbar viele". Mit "Q" kann man das nicht formulieren, denn das ist ja eine Menge (so meinst du das doch?).
Doch, so ist das. Zwischen zwei reellen Zahlen, die nicht gleich sind, liegen immer eine rationale und eine irrationale Zahl. |
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| 18.04.2014, 17:45 | Duude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ja, das meinte ich so. War unsauber formuliert...
hmm, wenn das so ist, ist mein f nicht riemann-integrierbar, da es überabzählbar viele Unstetigkeitsstellen hat. Ich hadere aber noch etwas damit, wie es sein kann, dass zwischen zwei irrationalen Zahlen (von denen es überabzählbar viele gibt) immer eine rationale Zahl liegt (von denen es doch nur abzählbar viele gibt). Das kann ich mir nicht wirklich vorstellen. Denn wenn die Mächtigkeit von R\Q echt größer ist als die von Q, dann müsste es doch zwei Zahlen von R/Q geben, zwischen denen es keine rationale Zahl gibt, da es sonst doch beide Mengen gleiche Mächtigkeit haben müssten... Gehört vllt nicht mehr zum obigen Thema, aber falls jemand eine Erklärung dafür hat, trotzdem gerne her damit 
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| 18.04.2014, 18:14 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
hallo duude, es gibt tatsächlich zwischen zwei irrationalen immer eine (nicht nur eine, unendlich viele) rationale zahl. Das kann man so begründen: nimm dir 2 irrationale zahlen, bilde den mittelwert und schneide ab einer gewissen nachkommastelle in der dezimaldarstellung alle weiteren nachkommastellen ab, und schon hast du wieder eine rationale zahl, die dazwischen liegt. Auch wenn die beiden irrationalen zahlen sehr dicht beieinander stehen, das ist immer möglich. gruss ollie3 |
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| 18.04.2014, 20:44 | Duude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
hi ollie3 
danke für die Erklärung. Ich habs verstanden. Muss in meinem Kopf noch etwas die Vorstellung dazu aufbauen und das verinnerlichen. danke an alle Helfenden. Duude |
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