Erwartungswert

18.04.2014, 23:25	Furiusxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Meine Frage: Assume random demand $\begin{eqnarray} d(\omega) \end{eqnarray}$ with cumultative distribution function H. Verify $\begin{eqnarray} E_{\omega}[F(x,d(\omega))] = bE_{\omega}[d(\omega)]+(c-b)x + (h+b) \int\limits_{0}^{x} P_{\omega}[d(\omega) \le z] dz \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} F(x,d) = cx+ b[d-x]_{+}+h[x-d]_{+} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} [a-b]_{+} = \max \{0,a-b\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Habe den Ansatz $\begin{eqnarray} E(X)=\int_0^\infty (1-F(x))\,\mathrm{d}x - \int_{-\infty}^0 F(x)dx \end{eqnarray}$ genommen. Dann würde ja für $\begin{eqnarray} b[d-x]_{+} = (bx-bd)1_{[d > x]} \end{eqnarray}$ gelten oder kann ich das so nicht machen? Weil diese Werte existieren ja sogesehen nur auf der Menge. Genauso für $\begin{eqnarray} h[x-d]_{+} = (h[x-d])1_{[d< x]} \end{eqnarray}$ . Somit kann ich nun den Erwartungswert anwenden: $\begin{eqnarray} <br /> E_{\omega}[F(x,d(\omega))]\\<br /> = E[F(x,d)] = E[cx+ b[d-x]_{+}+h[x-d]_{+}]\\<br /> = E[cx+ (bx-bd)1_{[d > x]}+(h[x-d])1_{[d< x]}]\\<br /> = E[cx]+E[(bx-bd)1_{[d > x]}]+ E[(h[x-d])1_{[d< x]}] \end{eqnarray}$ Hier komme ich dann nicht weiter, da ich nun wenn ich die oben gezeigte Definition vom Erwartungswert komme nicht auf was gewünscht komme..
19.04.2014, 11:19	Furiusxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich setzt das doch nochmal ein wenig fort, also: $\begin{eqnarray} E_{\omega}[F(x,d(\omega))]\\<br /> = E[F(x,d)] = E[cx+ b[d-x]_{+}+h[x-d]_{+}]\\<br /> = E[cx+ (bx-bd)1_{[d > x]}+(h[x-d])1_{[d< x]}]\\<br /> = E[cx]+E[(bd-bx)1_{[d > x]}]+ E[(h[x-d])1_{[d< x]}] <br /> = (cx- bx) + E[bd]1_{[d > x]}+E[(h[x-d])1_{[d< x]}] \\<br /> = x(c-b)+b((\int_0^\infty (1-H(x))\,\mathrm{d}x - \int_{-\infty}^0 H(x)dx)1_{[d > x]}) +E[(h[x-d])1_{[d< x]}] \\<br /> = x(c-b)+ b(\int_x^\infty (1-H(x)) dx) + E[(h[x-d])1_{[d< x]}]<br /> \end{eqnarray}$ Der letzte Schritt macht für mich Sinn, da $\begin{eqnarray} (1-H(x)) = P(d(\omega) > z) \end{eqnarray}$ . NUn bleibt noch der letzte Erwartungswert auszuwerten, welcher anschaulich für mich Sinn macht, da $\begin{eqnarray} [x-d]_{+} \end{eqnarray}$ ja nur für $\begin{eqnarray} d< x \end{eqnarray}$ existiert, weswegen ich also das Integral über $\begin{eqnarray} \int_0^{x} P(d(\omega) \le z) dz \end{eqnarray}$ bilde, also alle Wahrscheinlichkeiten wo dies zutrifft. Was nun fehlt ist woher das $\begin{eqnarray} b\int_0^{x} P(d(\omega) \le z) dz \end{eqnarray}$ kommt...
19.04.2014, 20:03	Furiusxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Niemand eine Idee oder kann mir sagen ob das was ich gemacht habe soweit stimmt??

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