Lösung der Differentialgleichung mit Anfangsbedingung

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19.04.2014, 12:16	lyra	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung der Differentialgleichung mit Anfangsbedingung Meine Frage: Hallo allerseits, ich soll die DGL : $\begin{eqnarray} \dot{x} = \frac{te^{-t}}{x\cos{x}} \quad , \quad x(0) = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ lösen. Die Aufgabenstellung lautet: Bestimmen Sie die eindeutige Lösung durch ein statisches System, d.h. geben Sie eine Gleichung für die Lösungsfunktion an. (Achtung: Man erhält eine nicht explizit lösbare Gleichung). Meine Ideen: Ich verstehe überhaupt nicht was da gemeint ist, weil ein statisches System heißt ja, dass f(x, t) = 0 gilt, also unabhängig von $\begin{eqnarray} \dot{x} \end{eqnarray}$ ist. Eine Gleichung für die Lösungsfunktion wäre dann x(t) = ... ?? Lg
20.04.2014, 11:42	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung der Differentialgleichung mit Anfangsbedingung Ich denke , es ist gemeint , es soll diese DGL nur gelöst werden. Multipliziere auf beiden Seiten $\begin{eqnarray} x cos(x) \end{eqnarray}$ und löse diese DGL durch "Trennung der Variablen" Du erhälst dann $\begin{eqnarray} \int x cos(x) \, dx = \int t e^{-t} \, dt \end{eqnarray*}$ Die beiden Intergale kannst Du durch partielle Integration jeweils lösen. Du erhäst dann eine Lösung , die Du nicht nach x(t) umstellen kannst. (nicht explizit lösbare Gleichung) Dann setzt Du den Anfangswert ein und bist fertig.
20.04.2014, 19:14	lyra	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlt auf der linken Seite nicht das $\begin{eqnarray} \dot{x} \end{eqnarray}$ ? Lg und danke
20.04.2014, 19:15	lyra	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh ich verstehe schon das wurde mit dx/dt umgestellt danke!!
20.04.2014, 19:18	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
so ist es
20.04.2014, 19:27	lyra	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm ok. # Unser Matheprof hat gesagt wir sollen immer mit bestimmten Integralen rechnen. Habe nun von 0 bis t integriert. Wo muss ich denn dann bei dem linken Term integrieren von: x(0) bis x(t) ? Lg
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20.04.2014, 19:43	lyra	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok das habe ich jetzt gemacht. Ergebnis: $\begin{eqnarray} x(t) sin(x(t))+cos(x(t) - \frac{4+\pi}{4\sqrt{2} = 1 - e^{-t} (t+1) \end{eqnarray}$ Die zweite Aufgabenstellung ist ja mal sehr tricky: Bestimmen Sie unter der Annahme, dass die Lösung x eine C(unendlich)-Funktion ist, das zweite Taylor-Polynom T2[x; 0] zum Entwicklungspunkt t = 0. (Anleitung: Man gewinne durch sukzessives Diﬀerenzieren der DGL oder der Gleichung aus (a) und Auswerten in t = 0 Gleichungen für x(0), x'(0) und x''(0) Also muss ich t = 0 setzen und dann einfach auf beiden seiten "Ableiten" oder muss ich das erst irgendwie umstellen ? Lg
20.04.2014, 19:49	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann leider nicht viel erkennen. Bitte prüfe Deinen Beitrag nochmal.
20.04.2014, 19:52	lyra	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah sorry, da ich unregistriert bin, kann ich nicht editieren, sorry $\begin{eqnarray} x(t) sin(x(t)) + cos(x(t)) - \frac{4+\pi}{4\sqrt{2}} = 1 - e^{-t}(t+1) \end{eqnarray}$ Lg und danke
20.04.2014, 20:23	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe als Lösung erhalten: $\begin{eqnarray} x sin(x) +cos(x) = - e^{-t} (t+1) +C \end{eqnarray}$ Die Anfangsbedingung eingesetzt: $\begin{eqnarray} C= \frac{\pi \sqrt{2} }{8} +\frac{\sqrt{2} }{2} +1 \end{eqnarray}$
20.04.2014, 20:44	lyra	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind also die selben Ergebnisse top! Ok wie sieht es denn mit der zweiten Aufgabenstellung aus, wo ich taylorentwickeln soll... (oben beschrieben) ich bräuchte nur den Ansatz, weiß nämlich nicht was ich genau taylorn muss Lg
20.04.2014, 20:47	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja Madam, wie gesagt . ich kann nicht viel erkennen
20.04.2014, 20:53	lyra	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe: Bestimmen Sie unter der Annahme, dass die Lösung x eine $\begin{eqnarray} C^{\infty} \end{eqnarray}$ -Funktion ist, das zweite Taylor-Polynom $\begin{eqnarray} T_{2} [x,0] \end{eqnarray}$ zum Entwicklungspunkt t = 0. (Anleitung: Man gewinne durch sukzessives Differenzieren der DGL oder der Gleichung aus (a) und Auswerten in t = 0, Gleichungen für $\begin{eqnarray} x(0) , x'(0) , x''(0) \end{eqnarray}$ So besser ?
20.04.2014, 21:07	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Worauf bezieht sich diese Aufgabe? Auf die Lösung davor oder ist es eine extra Aufgabe?
20.04.2014, 21:10	lyra	Auf diesen Beitrag antworten »
(a) war quasi die Aufgabe die gerade gelöst wurde.
20.04.2014, 21:33	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier mal ein Link, wie man das macht: http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/Beispiele%20zur%20Taylorentwicklung.pdf
20.04.2014, 21:44	lyra	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich weiß aber wie man Taylor entwickelt. Ich weiß nur nicht, was ich jetzt als f(t) ansehen soll... das ist ja eine Glg. : f(x, t) = 0 oder? Jetzt muss ich nur noch t = 0 setzen: f(x, 0) = 0 und das Taylor entwickeln, seh ich das richtig? LG
20.04.2014, 21:59	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja
20.04.2014, 22:12	lyra	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, da habe ich jetzt aber ein Problem, da ja f(x(t), t) gilt und x(0) laut anfangsbedingungen ja $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ ist. Dann würde ja komplett eine Konstante herauskommen und wenn ich die Ableite somit 0. Was habe ich da denn übersehen?
20.04.2014, 22:32	lyra	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ich muss erst nach t ableiten dann t=0 setzen sorry
21.04.2014, 00:32	lyra	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja hat auch nicht viel gebracht, bei der Ableitung kommt 0 heraus, was auch logisch ist, wenn f(x(t), t) = 0 schon gilt... Ideen??
21.04.2014, 10:41	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Du setzt in das Ergebnis t=0 ein und erhälst: $\begin{eqnarray} f(x)= x sin(x) +cos(x) +1 - \frac{4 +\pi }{4 \sqrt{2} } \end{eqnarray}$ Das leitest Du 2 Mal ab und setzt jeweils 0 ein , das ist alles. Dann kannst Du die Reihe aufstellen.

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