Funktionenfolgen

19.04.2014, 15:27	Champ 10	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionenfolgen Meine Frage: Hallo, Wir haben vor kurzem die funktionenfolgen und - reihen in der Vorlesung gemacht und dAs ist mir bisschen unklar mit den Funktionenfolgen. Ich bräuchte paar Beispiele um zu sehen wie ich dass zeigen soll, ob die Funktionfolge punktweise oder sogar gleichmäßig konvergiert. Ich hab folgende Beispiele: 1) Fn(x) = sin(nix)/Wurzel(n) konvergiert offensichtlich gleichmäßig für alle x aus \|R aber wie zeige ich das 2) Fn(x) = (n^2)x(1-x^2)^n konvergiert nur punktweise für x aus [0,1] , aber wieso ? 3. fn(x) = x^n konvergiert für x aus [0,1] punktweise. Meine Frage lautet, wie ich das alles zeigen soll, weil wir haben in der Vorlesungen abgeleitet und mal integriert und ich versteh da auch nicht wozu das jetzt war. Ich danke im Voraus Meine Ideen: .
19.04.2014, 23:05	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo betrachten wir mal die Funktionenfolge $\begin{eqnarray} f_n(x) = x^n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\in[0;1] \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \lim f_n(x) = f(x) = 1 \end{eqnarray}$ aber für $\begin{eqnarray} x\in [0;1[ \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \lim f_n(x) = f(x) =0 \end{eqnarray}$ Eine unstetige Grenzfunktion... 1. Für alle Funktionenfolgen die Grenzfunktion bestimmen. 2. Schauen, ob $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ überall gleichmäßig auf dem Defnitionsbereich gegen die Grenzfunktion konvergiert. Dies also unabhängig von x für hinreichend großes n erfüllt ist. Ist die Grenzfunktion gleich Null, muss auch das Maximum im Genzwert verschwinden, darf also nicht gegen eine feste Zahl $\begin{eqnarray} \ne \end{eqnarray}$ 0 streben. Gruß
21.04.2014, 13:21	Champ 10	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich danke dir. Also ist die eine Funktion punktweise auf [0,1] Also bei solchen Beispielen muss man zuerst die Grenzwerte betrachten. Und wenn für alle x aus dem definitontiosbereich der selbe Grenzwert existiert, konvergiert die Funktion gleichmäßig (also unabhängig vom x) Stimmt das so ? Lg
22.04.2014, 17:43	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi ja, die Grenzfunktion muss man kennen, damit man die Definition anwenden kann. $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty} \sup_{x\in D_f}\|f_n(x)-f(x)\|=0 \end{eqnarray}$ oder auch, wenn man eine beliebige, kleine Fehlerschranke $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ vorgibt, dann muss es ein $\begin{eqnarray} N\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ geben, sodass für alle $\begin{eqnarray} n>N \end{eqnarray}$ und für alle $\begin{eqnarray} x\in D_f \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ eine Epsilon-Approximation von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist, also $\begin{eqnarray} \|f_n(x) - f(x)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ gilt. Wie man das dann genau an einem Beispiel zeigt, ist manchmal etwas schwierig. Gruß
22.04.2014, 20:53	Champ 10	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ok super danke

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