Extrempunkte von x^2*e^{-x}

19.04.2014, 15:42

J. Lenno

Extrempunkte von x^2*e^{-x}

Zu ermitteln sind die relativen Extrempunkte von $\begin{eqnarray*} y=x^2*e^{-x} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ableitungen:
$\begin{eqnarray*} y'=2x*e^{-x}+x^2*e^{-x}*(-x)=e^{-x}*(2-x^2) y''=e^{-x}*(-x)*(2-x^2)+e^{-x}*(-2x)=e^{-x}*(-2x+x^3)+e^{-x}*(-2x)=e^{-x}*(-4x+x^3) \end{eqnarray*}$

Glaube die stimmen so. Wie berechnet man daraus eigentlich f'(x) = 0?
Wird e^{-x} immer null?

edit(kgV-19.4,15.50): Hab den Titel mal angepasst und den zweiten Beitrag entfernt, damit das Thema nicht bearbeitet aussieht smile

19.04.2014, 15:52

adiutor62

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Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ ist:
$\begin{eqnarray*} e^{-x} * (-1)=-e^{-x}. \end{eqnarray*}$

19.04.2014, 15:58

J. Lenno

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Danke für die schnelle Hilfe. smile

Wie berechnet man x^{-x} bei f'(x) = 0 ?

19.04.2014, 16:07

adiutor62

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Schreibe statt $\begin{eqnarray*} x^{-x} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} e^{lnx^{-x}}=e^{-x*lnx} \end{eqnarray*}$

Das kannst du jetzt mit der Produkt-und Kettenregel ableiten.

19.04.2014, 17:28

J. Lenno

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Ich hab's mal in eine für mich versändliche Form gebracht.

$\begin{eqnarray*} y'=2x*e^{-x}-x^2*e^{-x}=-e^{-x}*(2x+x^2) \end{eqnarray*}$

Wie löse ich nun nach x auf? Wird x^{x} zu ln(x)?

19.04.2014, 17:57

adiutor62

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Es geht doch um die Extremstellen. Dazu musst die die 1. Ableitung NULL setzen.
Denk an den Satz vom Nullprodukt.
Es muss zudem (-2x+x^2) lauten.

19.04.2014, 18:03

J. Lenno

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$\begin{eqnarray*} y'=-e^{-x}*(-2x+x^2)=0 \end{eqnarray*}$

Dann stelle ich noch ein x vor die Klammer:

$\begin{eqnarray*} y'=-e^{-x}*(-2x+x^2)=-e^{-x}*x*(-2+x) \end{eqnarray*}$

In der Klammer x1=2, das x vor der Klammer x2=0 und e?

19.04.2014, 18:42

adiutor62

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Da nur der Klammerterm NULL werden kann, brauchst du nur diesen NULL setzen:

$\begin{eqnarray*} -2x+x^2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x*(-2+x)=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt Satz vom Nullprodukt verwenden:

...

19.04.2014, 18:47

J. Lenno

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Habe ich ja oben gemacht. Aber was ist denn nun mit diesem $\begin{eqnarray*} -e^{-x} \end{eqnarray*}$ ?
Wird das nur normal angeschrieben oder was passiert damit?

19.04.2014, 18:55

J. Lenno

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Ist e hoch irgendwas generell außen vor zu lassen oder nur in diesem speziellen Fall?

Helpz.

19.04.2014, 19:45

adiutor62

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In solchen Fällen ist Ausklammern meistens sehr sinnvoll-auch für das Bilden weiterer Ableitungen.

19.04.2014, 23:30

opi

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adiutor hatte es weiter oben bereits angedeutet, aber um die Frage zu beantworten:

Zitat:

Original von J. Lenno
Ist e hoch irgendwas generell außen vor zu lassen oder nur in diesem speziellen Fall?

$\begin{eqnarray*} e^{irgendwas} \end{eqnarray*}$ wird niemals Null, Du kannst es bei der Nullstellenbestimung eines Produktes ignorieren.

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