Funktionen trennen Punkte - wie beweisen?

19.04.2014, 17:53

math_mrg

Funktionen trennen Punkte - wie beweisen?

Hallo zusammen,

ich habe zwei Aufgaben, bei denen ich zeigen muss, dass entsprechende Funktionen Punkte trennen (da ich Stone-Weierstraß darauf anwenden will) und habe ehrlich gesagt bei beiden keinen Ansatz.

1. Situation: $\begin{eqnarray*} (X,d_X),~(Y,d_Y) \end{eqnarray*}$ kompakt, $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der Vektorraum, der von allen endlichen Linearkombinationen der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{i\in I}u_i(x)v_i(y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u_i \in C(X,\mathbb{R}), v_i\in C(Y,\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ erzeugt wird. Ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ als Unterring von $\begin{eqnarray*} C(X\times Y, \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ Punkte trennt.

Das Problem ist, dass ich überhaupt keine Ahnung habe, wie ich da ran gehe. Da meine Funktionen auf einem beliebigen metrischen Raum (nicht zwingend als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) leben, kann ich die Punkte ja nicht in der Funktionsvorschrift wirklich benutzen...Wie kann ich hier vorgehen?

2. Situation: Ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} C(X, \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ kompakt, separabel ist (enthält abzählbare, dichte Teilmenge). Ich habe erstmal gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ separabel ist (über das Standardargument endliche Teilüberdeckung mit Kugeln vom Radius $\begin{eqnarray*} 1/n \end{eqnarray*}$ , davon die Mittelpunkte bilden die dichte Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ).

Als Hinweis in der Aufgabe war nun gegeben, dass man Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ definieren soll: $\begin{eqnarray*} f_n(x)=d(x,q_n),~f_0=1 \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} A=\lbrace q_1,q_2,\hdots \rbrace \end{eqnarray*}$ ) und die von ihnen erzeugte Unteralgebra von $\begin{eqnarray*} C(X,\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ betrachten. Auch hier muss ich, um Stone-Weiertraß zu benutzen, wieder zeigen, dass es eine Funktion gibt, die Punkte trennt. Aber wie? (ähnliches Problem wie oben, da $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nicht Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sein muss)...

Vielleicht kann mir jemand helfen?

19.04.2014, 19:23

math_mrg

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Die zweite Situation konnte ich mittlerweile lösen smile

19.04.2014, 20:09

Che Netzer

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RE: Funktionen trennen Punkte - wie beweisen?

Zitat:

Original von math_mrg
Da meine Funktionen auf einem beliebigen metrischen Raum (nicht zwingend als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) leben, kann ich die Punkte ja nicht in der Funktionsvorschrift wirklich benutzen...

Du brauchst nur zu wissen, dass $\begin{eqnarray*} C(X,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ Punkte trennt (metrische Räume sind vollständig regulär). Um passende Funktionen anzugeben, kannst du die Metrik benutzen.

Oder direkter: Du kannst (wieder mithilfe der Metrik) für jedes $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ eine Funktion der genannten Form angeben, die genau an diesem Punkt Null wird, aber nirgends sonst.

19.04.2014, 20:17

math_mrg

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danke! Auf die Metrik kam ich eben auch schon, nutze dann aus, dass d(x,y) = 0 <=> x=y, oder?

Jetzt versuche ich gerade die Funktion in der Form aus V anzugeben...Die Funktion, die man nehmen könnte, wäre ja eben f(x,y)=d((x_1,y_1),(x,y)). Wie kann ich denn jetzt Funktionen $\begin{eqnarray*} u\in C(X,\mathbb{R}), ~ v \in C(Y,\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ finden, die das ausdrücken?

Vorschlag: $\begin{eqnarray*} u(x)=d(x,x_1),~ v(y)= d(y,y_1) \Rightarrow f(x,y)=u(x)v(y) \end{eqnarray*}$ . Dann erhalte ich allerdings $\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \Leftrightarrow x=x_1 \text{ oder }y=y_1 \end{eqnarray*}$ ...

19.04.2014, 20:58

Che Netzer

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Zitat:

Original von math_mrg
Die Funktion, die man nehmen könnte, wäre ja eben f(x,y)=d((x_1,y_1),(x,y)).

Und wie ist $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ definiert? Oder besser: Wie kann eine Produktmetrik definiert werden?

Zitat:

Vorschlag: $\begin{eqnarray*} u(x)=d(x,x_1),~ v(y)= d(y,y_1) \Rightarrow f(x,y)=u(x)v(y) \end{eqnarray*}$ .

Die beiden Funktionen sind gut gewählt, aber schlecht zusammengesetzt.

19.04.2014, 21:05

math_mrg

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aha, ok: also die Produktmetrik ist ja das Maximum der beiden Metriken, d.h. ich könnte erstmal anfangen: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\max (d_X (x_1,x), d_Y(y_1,y)) \end{eqnarray*}$ , dann passt das mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \Leftrightarrow (x,y)=(x_1,y_1) \end{eqnarray*}$ . Das Problem ist nur, dass ich das Maximum ja nicht verwenden darf - oder?

19.04.2014, 21:15

Che Netzer

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Aber wie kannst du die/eine Produktmetrik noch definieren? Beachte auch, dass konstante Funktionen in all den genannten Räumen liegen.

19.04.2014, 21:20

math_mrg

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ich habe gerade ein Lemma aus der VL gefunden, welches mir vielleicht hilft:

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kompakt, $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein Unterring von $\begin{eqnarray*} C(X,\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ , welcher alle konstanten Funktionen enthält. Sind $\begin{eqnarray*} f,g\in R \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \max (f,g) \in \overline{R} \end{eqnarray*}$ .

Mein Vektorraum erfüllt alle Voraussetzungen, also kann ich das Lemma hier anwenden. Reicht mir das?

19.04.2014, 21:25

Che Netzer

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Das sagt nur etwas über den Abschluss des Unterrings aus. Wie gesagt: Sieh dir nochmal mögliche Definitionen der Produktmetrik an. Oder elementarer: Mit der Multiplikation der beiden Metriken hat es ja nicht funktioniert – wenn eine Null ist, wird das ganze Produkt Null. Wie kannst du sie stattdessen verknüpfen, so dass das nicht mehr passiert?

19.04.2014, 21:26

math_mrg

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ach natürlich...ich kann die produktmetrik ja ganz normal (quasi euklidischer abstand zum Quadrat) nehmen. Da verwende ich ja dann nur Additionen und Multiplikationen...

Das heißt, meine Funktion, die die Punkte trennt, lautet $\begin{eqnarray*} f(x,y)=d_X(x_1,x) + d_Y(y_1,y) \end{eqnarray*}$ , oder? Augenzwinkern

19.04.2014, 21:30

Che Netzer

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Die Funktion stimmt zwar, aber mit dem Euklidischen Abstand hat das wenig zu tun.

19.04.2014, 21:31

math_mrg

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ja deshalb meinte ich ja "quasi"...egal :-D

Danke für die Hilfe!

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