C([0,1],[0,1]) kompakt?

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19.04.2014, 18:42	math_mrg	Auf diesen Beitrag antworten »
C([0,1],[0,1]) kompakt? Die Frage ist, ob $\begin{eqnarray} C([0,1],[0,1]) \end{eqnarray}$ kompakt bzgl. der Supremumsnorm ist. Meine Idee ist, dass er es nicht ist, ich kann es aber nicht begründen. Klar ist: Der Raum ist beschränkt (der Abstand zweier Funktionen ist immer kleiner gleich 1). Wie kann ich aber jetzt Abgeschlossenheit widerlegen? Oder Kompaktheit beweisen (jede Folge besitzt konvergente Teilfolge)? Kann mir hier vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
19.04.2014, 18:54	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Erstmal Vorsicht: Das, was Du hingeschrieben ist kein Vektorraum! Die Abgeschlossenheit kannst Du Dir ueberlegen, indem Du Dein Wissen ueber gleichmaessige Konvergenz zu Rate ziehst. Dennoch, nur um Dich nicht inder Luft baumeln zu lassen: Die Menge ist nicht kompakt. Ziehe etwa Ascoli-Arzela zu Rate (fuer ein Gegenbeispiel) Alternativ kannst Du abstrakt argumentieren: Angenommen, die Menge waere es. Wie wuerde sich dies zur Nichtkompaktheit von Einheitsbaellen in unendlichdimensionalen Raeumen verhalten?
19.04.2014, 18:58	math_mrg	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi dr.morrison, danke für die Antwort. Leider haben wir weder Ascola-Arzeli noch unendlichdimensionale Räume bislang behandelt.... Dann müsste es doch wahrscheinlich darüber gehen, dass es Folgen gibt, die keine konvergenten Teilfolgen haben? Wie finde ich solch eine Folge?
19.04.2014, 19:04	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Ha, das geht natuerlich auch elementarer, und danke fuer den Hinweis -- Funktionalanalysis ist da ein bisschen wie mit Kanonen auf Spatzen zu schiessen Ich gebe Dir mal eine Folge, und Du ueberlegst Dir, wie Du sie nutzen kannst: $\begin{eqnarray} f_{n}(0)=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f_{n}(x)=1-nx \end{eqnarray}$ zwischen 0 und 1/n, 0 zwischen 1/n und 1.
19.04.2014, 19:10	math_mrg	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Okay also: diese Folge konvergiert punktweise (außer im Punkt 0) gegen die Nullfunktion...Also konvergiert sie nicht Ich muss also jetzt zeigen, dass sie überhaupt keine konvergente Teilfolge besitzt. Und das ist klar, da sie in x=0 nie punktweise konvergiert - reicht das?
19.04.2014, 19:13	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die punktweise Konvergenz ist nicht der Punkt. Ueberlege Dir, warum keine Teilfolge in der Supremumsnorm konvergieren kann. Aber Du -- denke ich -- meinst das richtige. Warum bist Du dann fertig?
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19.04.2014, 19:19	math_mrg	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach klar - sind ja in der Supremumsnorm^^ Was hältst du von: $\begin{eqnarray} \sup_{x\in [0,1]} (f_n(x)-f(x)) = \sup (1-nx) = 1 \end{eqnarray}$ ?
19.04.2014, 19:39	math_mrg	Auf diesen Beitrag antworten »
obwohl, dann hätte ich erstmal gezeigt, dass die folge an sich nicht konvergiert. dann müsste ich begründen, wieso es keine Teilfolge gibt, sodass sie nicht konvergiert (wegen dem 1/n ? - picke ich hier eine Teilfolge raus, ändert sich im Limes nichts). Aber (ganz doof vlt): die Folge konvergiert doch gegen die Funktion mit f(0)=1 und f(x) =0 für alle x aus (0,1] oder - und damit auch alle Teilfolgen...oder?
19.04.2014, 21:49	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Jede Teilfolge konvergiert punktweise gegen eine unstetige Funktion. Wenn das allerdings vorliegt, so kann die Konvergenz nie gleichmäßig sein, und somit kann keine Teilfolge bezüglich der Supnorm konvergieren.
20.04.2014, 13:31	math_mrg	Auf diesen Beitrag antworten »
danke!

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