Berechnung Adjungierter Abbildung

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Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung Adjungierter Abbildung
Hey Mathematiker.
Also ich habe hier eine Aufgabe, die ich nur zur hälfte beantworten konnte. Nun komm ich nicht mehr weiter.
Also:
Sei der Vektorraum der glatten -wertigen Funktionen auf mit kompaktem Träger und
Erst sollte ich zeigen, dass eine nicht ausgeartete Sesquilinearform ist, was ich ohne Probleme hinbekommen habe.
Nun soll ich betrachten und sei (Ableitung). Nun soll ich bzgl. bestimmen. Wie das gehen soll weiß ich net. Ich habe wirklich keine Ansatz.
Danke für eure Hilfe.
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß niemand wie das geht? Oder ist es zu viel Schreibarbeit?
Mir würde vielleicht auch eine Starthilfe helfen.

Gruß
 
 
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Ich würde mal auf partielle Integration tippen.
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Wie würdest du die Aufgabe hinschreiben. So?

Gegeben:




Dann hab ich das so gemacht :


Was ich jetzt nicht verstehe, was dieser Strich über das g bedeutet, also . Ist das das komplex konjugierte?

Dann könnte man halt die von dir erwähnte partielle Integration anwenden, dann hat man: Aber wie? Und warum?
Ich möchte ja am Ende stehen haben, dass ist.
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ist das komplex konjugierte.
Warum partiell integrieren? Auf der einen Seite steht

im Integranden steht also g, während hier

die Ableitung von g steht. Du musst also die Ableitung los werden und dabei hilft partielle Integration.
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Also hab ich dann:


Kann ich jetzt ablesen?
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Kannst du, wenn du dir vorher überlegst, was mit den Randtermen passiert.
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm. Ich könnte wieder mit der Produktregel in den Integral reinschreiben, aber das bringt mir ja nichts. Oder? Da kann ich am Ende folgern, dass ist.
Richtig?
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wie meinen? verwirrt
Es geht doch im Augenblick um den Wert, der sich hinter verbirgt.
Der ergibt sich aber, wenn du bedenkst, in welchem Vektorraum wir uns befinden.
Wenn dir das nicht direkt hilft, überlege dir, was denn der Integrationsbereich deines Integrals ist.

und nein, ist falsch
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme nicht weiter unglücklich .
Der Vektorrum sagt mir doch nur, dass f und g unendlich- differenzierbar sind oder?
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RE: Berechnung Adjungierter Abbildung
Da steht noch ein bisschen mehr
Zitat:
Original von Fakelove1
Sei der Vektorraum der glatten -wertigen Funktionen auf mit kompaktem Träger [...]
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Kompakter Träger sagt ja nur, dass f in V ohne 0 ist und dass f begrenzt und abgeschlossen ist. Was bringt mir das jetzt? Sorry, dass das solange dauert.
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Das stimmt so nicht. f kann sehr wohl die Nullfunktion sein. V ist ein Vektorraum und was soll sonst das Nullelement in diesem Vektorraum sein, wenn nicht die Nullfunktion?
Kompakter Träger sagt etwas über die Menge aus, in der so eine Funktion von Null verschieden sein kann. Grob gesagt kann du zu einer Funktion mit kompaktem Träger eine kompakte Menge K finden, so dass f=0 außerhalb von K.
Überleg dir folgendes: Ohne diese Voraussetzung wäre z.B. die konstante Funktion f=1 in V. Aber dann ist gar nicht definiert.
Jetzt überleg dir, welche Konsequenz die Existenz eines kompakten Trägers für den Integrationsbereich hat.
Und dann überleg dir, warum die Randterme verschwinden.
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche das zu verstehen, aber schaff ich leider net. Kannst du mir sagen wie das geht und ich denke darüber nach, denn mit Lösung fällt es mir leichter es zu verstehen.
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du bist lange genug dabei, um zu wissen, dass es keine Komplettlösung gibt smile
Nimm an, du hast mit für
Dann ist

Was ist jetzt mit den Randtermen?
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Der Randterm ist gleich 0, da f(x)=g(x)=0. Warum darf nicht x nicht in [1,2] sein?
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x darf doch in [1,2] sein. Ich habe nur gesagt, dass f und g außerhalb Null sind. Über die Werte von f und g in [1,2] habe ich gar nichts ausgesagt. Wichtig ist nur, dass f und g außerhalb einer kompakten Menge (dem kompakten Träger) Null sind.
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll ich weitermachen. Fertig sind wir noch nicht oder?
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In meinem Beispiel habe ich willkürlich das Intervall [1,2] benutzt. Du überlegst dir jetzt, wie man das allgemein mit dem kompakten Träger macht. Damit kannst du zeigen, dass die Randterme verschwinden.
Wenn du das mit dem kompakten Träger nicht hinbekommst, geh davon aus, dass die Randterme gleich Null sind.
Dann kannst du ablesen
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Also
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Ja
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