Gitter

20.04.2014, 13:13

Keen89

Gitter

Wann ist eine Teilmenge vom $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ ein Gitter? Habe irgendwie einen Denkfehler/Problem mit der Definition.

Definition: Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} A\subseteq R^n \end{eqnarray*}$ heißt Gitter, wenn es linear unabhänige Vektoren $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,...,a_m \in R^n \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} A=Za_1+Za_2+...Za_m = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} x_1a_1+x_2a_2+...+x_ma_m : x_1,x_2,...,x_m \in Z \end{eqnarray*}$ }

$\begin{eqnarray*} Z(1,0)+Z(\frac{1}{2},\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ist ein Gitter im $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2},\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

$\begin{eqnarray*} Z(1,2,3)+Z(4,5,6)+Z(7,8,9) \end{eqnarray*}$ ist kein Gitter im $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} (1,2,3) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (4,5,6) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (7,8,9) \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind.

$\begin{eqnarray*} Z+Z\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist kein Gitter im $\begin{eqnarray*} R^1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind.

$\begin{eqnarray*} Z^2+Z(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ -> keine Ahnung... wie funktioniert das mit dem $\begin{eqnarray*} Z^2 \end{eqnarray*}$ ?

Verbessert mich, wenn ich was falsch verstanden habe :-)

20.04.2014, 15:19

weisbrot

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RE: Gitter
es ist einfach $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^2 = \mathbb Z (1,1) \end{eqnarray*}$ .
lg

edit:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Z+Z\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist kein Gitter im $\begin{eqnarray*} R^1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind.

es sind aber zwei vektoren in IR. es ist dann $\begin{eqnarray*} \mathbb Z+\mathbb Z\sqrt{2} = \mathbb Z (1+\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ein gitter in IR.

20.04.2014, 17:36

Keen89

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Ich habe jetzt ein Lösung bekommen, allerdings ohne Begründung. Anscheinend ist $\begin{eqnarray*} Z(1,0)+Z(\frac{1}{2},\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ein Gitter im $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z(1,2,3)+Z(4,5,6)+Z(7,8,9) \end{eqnarray*}$ ist ein Gitter im $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z+Z\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist kein Gitter im $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} Z^2+Z(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ ist ein Gitter im $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ .

Kann mir jemand erklären warum?

20.04.2014, 18:01

weisbrot

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Zitat:

es sind aber zwei vektoren in IR. es ist dann $\begin{eqnarray*} \mathbb Z+\mathbb Z\sqrt{2} \color{red}\neq\color{black} \mathbb Z (1+\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ein gitter in IR.

tut mir leid, ich weiß nicht was ich da gedacht hab, das war jedenfalls quatsch.
es gilt hier dann jedoch zu begründen, warum es keine zahl x gibt, sodass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z+\mathbb Z\sqrt{2} = \mathbb Z x \end{eqnarray*}$ , einfach zu sagen die seien linear abhängig reicht nicht aus.
so ist es auch bei $\begin{eqnarray*} Z(1,2,3)+Z(4,5,6)+Z(7,8,9) \end{eqnarray*}$ - da gibt es x und y sodass das $\begin{eqnarray*} = \mathbb Z x + \mathbb Z y \end{eqnarray*}$ ist, also das doch ein gitter ist.
analog für $\begin{eqnarray*} Z^2+Z(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ .
sorry dass ich das vorher nicht vernünftig erklärt hab.
lg

20.04.2014, 19:00

Keen89

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Zitat:

Original von weisbrot

Zitat:

es sind aber zwei vektoren in IR. es ist dann $\begin{eqnarray*} \mathbb Z+\mathbb Z\sqrt{2} \color{red}\neq\color{black} \mathbb Z (1+\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ein gitter in IR.

Kein Problem... ich bin ja sehr froh, dass mir geholfen wird! Vielen Dank an dieser Stelle!
Ich hätte dazu noch zwei Fragen:
1) Wie bekommt man dann so ein x (und y) raus? Bzw. wie kann ich zeigen, dass diese existieren oder auch nicht existieren?
2)Du sagst $\begin{eqnarray*} Z^2=(1,1) \end{eqnarray*}$ . Ich kenne das immer als $\begin{eqnarray*} Z^2=ZxZ \end{eqnarray*}$ . Mit deiner Definition bekommt man nur Zahlenpaare (1,1), (2,2),(3,3),...
Mit meiner Definition bekommt man auch (1,0),(0,1),(1,1),(2,0),...
Warum ist hier bei Gittern $\begin{eqnarray*} Z^2=(1,1) \end{eqnarray*}$ ?

20.04.2014, 19:17

weisbrot

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1) in dem einfachen fall wie hier, dass sich einer der vektoren aus den anderen über Z linear kombinieren lässt, kannst du diesen einfach weglassen (hoffentlich klar warum) - wenn die restlichen dann lin. unabh. sind lässt du das so stehen und bist fertig.
ob es aber ein allgemeines verfahren gibt kann ich dir nicht sagen.
um zu zeigen, dass sowas kein gitter ist, wie in dem einen fall, musst du ein bisschen kreativ werden. wohl am einfachsten nimmt man einfach an es gäbe soein x und führt das zu einem widerspruch.
2) das ist wieder mein fehler - manchmal gibts solche tage :S - Z^2 besteht natürlich, wie du es kennst, aus allen paaren ganzer zahlen. an der stelle könntest du das trotzdem in die form $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^2 = \mathbb Z x + \mathbb Z y \end{eqnarray*}$ bringen, und dann weiter wie vorher.
lg

21.04.2014, 12:04

Keen89

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Ok, dann ist $\begin{eqnarray*} Z^2=Z(1,0)+Z(0,1) \end{eqnarray*}$ .

Somit ist $\begin{eqnarray*} Z^2+Z(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=Z(1,0)+Z(0,1)+Z(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=Z(\frac{1}{2},0)+Z(0,\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ und folglich ein Gitter im $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} Z(1,2,3)+Z(4,5,6)+Z(7,8,9)=Z(1,2,3)+Z(4,5,6) \end{eqnarray*}$ ,
da $\begin{eqnarray*} -(1,2,3)+2*(4,5,6)=(7,8,9) \end{eqnarray*}$ und folglich auch ein Gitter im $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} Z(1,0)+Z(\frac{1}{2},\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ist ein Gitter im $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2},\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

Aber warum ist nicht $\begin{eqnarray*} Z+Z\sqrt{2}=Z\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ?

21.04.2014, 15:52

weisbrot

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} Z^2+Z(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=Z(1,0)+Z(0,1)+Z(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\color{red}\neq\color{black}Z(\frac{1}{2},0)+Z(0,\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

ne, das stimmt nicht, mal dir ruhig mal ein bild um das zu sehen, dann kommst du vielleicht auch leichter auf die gitterperioden.

Zitat:

Aber warum ist nicht $\begin{eqnarray*} Z+Z\sqrt{2}=Z\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ?

es ist z.b. $\begin{eqnarray*} 1 = 1+0\in\mathbb Z+\mathbb Z\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} 1\notin\mathbb Z\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

der rest ist ok.

lg

21.04.2014, 16:44

Keen89

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Zitat:

Original von weisbrot

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Z^2+Z(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=Z(1,0)+Z(0,1)+Z(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\color{red}\neq\color{black}Z(\frac{1}{2},0)+Z(0,\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

ne, das stimmt nicht, mal dir ruhig mal ein bild um das zu sehen, dann kommst du vielleicht auch leichter auf die gitterperioden.

Ok... stimmt. Das müsste aber richtig sein oder?
$\begin{eqnarray*} Z^2+Z(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=Z(1,0)+Z(0,1)+Z(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=Z(1,0)+Z(1,1) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von weisbrot

Zitat:

Aber warum ist nicht $\begin{eqnarray*} Z+Z\sqrt{2}=Z\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ?

es ist z.b. $\begin{eqnarray*} 1 = 1+0\in\mathbb Z+\mathbb Z\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} 1\notin\mathbb Z\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

Hier ist ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ linear abhängig, d.h. ich muss, wie du schon gesagt hast, ein x finden für das gilt: $\begin{eqnarray*} Z+Z\sqrt{2}=Zx \end{eqnarray*}$ .
Da aber $\begin{eqnarray*} Z = \{...,-1,0,1,2,3,4,5,...\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z\sqrt{2} = \{...,-\sqrt{2},0,\sqrt{2},2\sqrt{2},3\sqrt{2},4\sqrt{2},5\sqrt{2},...\} \end{eqnarray*}$ disjunkt sind, gibt es kein solches x.

21.04.2014, 17:49

Keen89

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Es müsste natürlich heißen:

$\begin{eqnarray*} Z^2+Z(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=Z(1,0)+Z(0,1)+Z(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=Z(1,0)+Z(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

21.04.2014, 19:46

weisbrot

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} Z^2+Z(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=Z(1,0)+Z(0,1)+Z(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=Z(1,0)+Z(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

ja, das stimmt.

Zitat:

Da aber $\begin{eqnarray*} Z = \{...,-1,0,1,2,3,4,5,...\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z\sqrt{2} = \{...,-\sqrt{2},0,\sqrt{2},2\sqrt{2},3\sqrt{2},4\sqrt{2},5\sqrt{2},...\} \end{eqnarray*}$ disjunkt sind, gibt es kein solches x.

es ist doch 0 in beidern drin. aber es geht schon in die richtige richtung - wenn der durchschnitt der beiden dinger nur {0} ist, dann kann es ein solches x nicht geben (warum?).

lg

22.04.2014, 12:32

Keen89

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Zitat:

Original von weisbrot

Zitat:

es ist doch 0 in beidern drin. aber es geht schon in die richtige richtung - wenn der durchschnitt der beiden dinger nur {0} ist, dann kann es ein solches x nicht geben (warum?).

Ok, wenn der Schnitt {0} ist, gibt es kein $\begin{eqnarray*} x \in Z \end{eqnarray*}$ sodass man durch Multiplikation mit x und einem Element $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ aus einer der beiden Mengen in die andere Menge kommt. Folglich ist $\begin{eqnarray*} Z+Z\sqrt{2} \neq Zx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall x \in Z \end{eqnarray*}$

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