Faktorisieren und quadratisch Ergänzen

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20.04.2014, 14:13	schachtelkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorisieren und quadratisch Ergänzen Meine Frage: Hallo alle zusammen, habe mir das Buch Mathematik Vorkurs gekauft und bin grade dabei die ersten Übungsaufgaben zu bearbeiten. Folgende Probleme tretten auf: 1) 4a²-12a+9b²-24b=0 Nun soll ich vereinfachen und mittels quadratischer Ergänzung vollständige Quadrate bilden. und als Lösung soll raus kommen (2a-3)²+(3b-4)²=25 jetzt frag ich mich wie komme ich auf dieses Ergebnis. Offensichtlich hat er bei den ersten die Wurzel gezogen (4a² und 9b²) und nicht die 4 und 9 ausgeklammert so wie ich das machen würde. ------------------------------------------------------ 2) Bei einer anderen Aufgabe soll ich die Ausdrücke soweit wie möglich vereinfachen. 15ab-5a-1+3b die Lösung lautet (5a+1)(3b-1) Hier würde ich nur gerne Wissen wie ich vorgehen soll ? Danke euch schon jetzt mal Meine Ideen: 1) Wenn ich die quadratische Ergänzung einsetze komme ich auf: 4(a-3/2)²-9/4 + 9(b-4/3)²-16/9=0 da ich ja die 4 und die 9 ausklammern muss oder nicht ? Nun des war mein erster Lösungsansatz. Dann hatte ich versucht über Binom darauf zu kommen: Und hab ihnen die Werte zugeordnet. 4a²=a² Wurzel 2a=a -12a = -2ab (nur hier Fehlt mir ja des b ? und damit bin ich dann auch schon am ende mit meinem Latein) das gleiche habe ich auch bei 9b² und -24b gemacht und habe ja dort das selbe Problem. edit(kgV-20.4,14.24): Titel modifiziert. "verzweiflung -.-" sagt gar nix aus
20.04.2014, 14:57	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1: Deine Lösung stimmt fast: das herausheben der 4 bzw. 9 ist schon in Ordnung (zwar nicht nötig, weil die 4 und die 9 beides selbst Quadratzahlen sind - da kann man die binomische Formel gerne mit Vorfaktor bilden), aber du vergisst, dass du rechnen musst: $\begin{eqnarray} 4a^2-12a=4(a^2-3a)=4(a^2-3a+\frac 94-\frac94)=\cdots \end{eqnarray}$ . Ein letzter Schritt stimmt dir da dann nicht Zu 2: Klammer mal in den beiden ersten Summanden alles aus, was sie gemeinsam haben, dann sollte etwas sichtbar werden Lg kgV
20.04.2014, 15:46	schachtelkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
hey , danke für die schnelle Antwort leider habe ich keine Ahnung was genau du zu 1) meinst ? was ich da jetzt machen soll .... und zu 2) da hätte ich des so gemacht : 15ab-5a-a+3b 5(3ab-1a)-1+3b aber da blick ich halt dann auch nicht mehr durch -.- p.s Wie meinst du das mit Vorfaktor wie würde das denn aussehen ? lg schachtelkopf
20.04.2014, 15:48	schachtelkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry nicht -a sondern -1
20.04.2014, 15:53	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1) kannst du meine Rechnung zu Ende führen? Dann sollte dir klar werden, wo dein Fehler liegt Das mit Vorfaktor machen wir dann evtl danach, ok? sonst führt das nur zu Verwirrung Zu 2) Du kannst noch mehr ausklammern... ist da nicht noch ein "a" in beiden Summanden?...
20.04.2014, 16:31	schachtelkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
also zu 1) $\begin{eqnarray} 4(a²-3a+9/4-9/4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4[(a-3/2)²-9/4] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4(a-3/2)²-9 \end{eqnarray}$ meinst du das so ? das ich also vergessen habe die 9/4 mit 4 zu multiplizieren? 2) des wären ja dann $\begin{eqnarray} 5a(3b-1)+3b-1 \end{eqnarray}$
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20.04.2014, 16:34	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1) Genau das meine ich Denselben Fehler hast du auch bei der zweiten Klammer gemacht. Bessere das auch noch aus, dann kommst du auf die Musterlösung zu 2) richtig. Jetzt kannst du noch einmal ausklammern, wenn du den Term $\begin{eqnarray} 5a(3b-1)+(3b-1) \end{eqnarray}$ genau betrachtest
20.04.2014, 17:02	schachtelkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1) dann komme ich auf : $\begin{eqnarray} 4(a-3/2)²-9+9(b-4/3)²-64=0 \end{eqnarray}$ des ist ja jetzt dann wenigstens ein Anfang nur wie gehe ich jetzt weiter vor ? zu 2) da versteh ich nicht was ich da noch ausklammern kann ?
20.04.2014, 17:07	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1) Deine letzte Zahl stimmt nicht so wirklich... Da sollte eigentlich -16 stehen Wie hast du gerechnet? Als nächsten Schritt müsstest du dir 4 bzw 9 als Quadrate schreiben und die dann in die Klammern ziehen (nach dem Potenzgesetz $\begin{eqnarray} a^2\cdot b^2=(a\cdot b)^2 \end{eqnarray}$ mit a gleich der Zahl und b gleich der Klammer) zu 2) Schreib dir mal $\begin{eqnarray} 3b-1 \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} 1\cdot(3b-1) \end{eqnarray}$ hin und halte jetzt nach gemeinsamen Faktoren in deinen Summanden Ausschau
20.04.2014, 17:42	schachtelkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1) also hab natürlich mal wieder nen super Fehler gemacht hab da $\begin{eqnarray} (8/3)² \end{eqnarray}$ gerechnet anstelle von $\begin{eqnarray} (4/3)² \end{eqnarray}$ also so müsste das dann richtig aussehen : $\begin{eqnarray} 4a²-12a+9b²-24b=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4(a²-3a)+9(b²-8/3b)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4(a²-3a+9/4-9/4)+9(b²-8/3b+16/9-16/9)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4[(a-3/2)²-9/4]+9[(b-4/3)²-16/9]=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4(a-3/2)²-9+9(b-4/3)²-16=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2²(a-3)²-9+3²(b-4/3)²-16=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2a-3)²-9+(3b-4)²-16=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2a-3)²+(3b-4)²=25 \end{eqnarray}$ ich kann dir gar nicht sagen wie dankbar ich bin das du mir da geholfen hast ....... Stress pur und wenn ich mir des so ansehe dann ist das ja gar nicht so kompliziert und zu 2) da hab ich leider immer noch keine Ahnung was du mir damit sagen willst ... checke es einfach nicht
20.04.2014, 17:45	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1) zu 2) $\begin{eqnarray} 5a\cdot{\color{red}(3b-1)}+1\cdot{\color{red}(3b-1)} \end{eqnarray}$ . Sicher, dass da nix gemeinsames in den beiden steckt?
20.04.2014, 18:16	schachtelkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 2) also die $\begin{eqnarray} (3b-1) \end{eqnarray}$ haben sie ja gemeinsam ... und des ist dann der grund warum ich $\begin{eqnarray} (3b-1) \end{eqnarray}$ ausklammere und dann bleibst ja noch $\begin{eqnarray} 5a+1 \end{eqnarray}$ übrig ? sprich $\begin{eqnarray} (5a+1) (3b-1) \end{eqnarray}$ ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht .... ich habe die $\begin{eqnarray} (3b-1) \end{eqnarray}$ nicht als einzelnen Ausdruck betrachtet manchmal frag ich mich wie ich es überhaupt schaffe mir morgens eine Hose anzuziehen Also ich danke dir nochmals du hast mir den Tag gerettet und frohe Ostern !!
20.04.2014, 18:18	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Wunderbar Gern geschehen und gleichfalls frohe Ostern

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