Anzahl Würfe für 3 Sechser

20.04.2014, 18:15

Nesty779

Anzahl Würfe für 3 Sechser

Hallo, würde mich über Hilfe bei folgender Aufgabe freuen!

Wie oft muss man würfeln um mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% mindestens drei 6er zu erhalten (Lösung: rund 150 Mal).

Es handelt sich um eine Binomialverteilung. Über die Gegenwahrscheinlichkeit ist es möglich, doch nicht einfach nach n aufzulösen. Denn die Wahrscheinlichkeit ist Eins minus die Wahrscheinlichkeiten, dass kein Sechser, ein Sechser und zwei Sechser gewürfelt werden.

Vielleicht hat jemand einen einfacheren und schneller berechenbaren Lösungsweg.

LG

20.04.2014, 18:34

Bonheur

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Es müsste mit der Gegenwahrscheinlichkeit gehen, denn die Frage ist "ja", wie oft muss man würfeln um mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% mindestens drei 6er zu erhalten.

Angenommen du bekommst dreimal hintereinander eine sechs.
Die Wahrscheinlichkeit drei Sechsen zu bekommen, beträgt demnach 1/6*1/6*1/6=1/216.

Und die Gegenwahrscheinlichkeit dazu wäre: 1-1/216.

Wie oft muss man würfeln, damit die obige Frage beantworten werden kann ?

Wie kann man diese Frage, als mathematische Gleichung aufschreiben ?

20.04.2014, 19:06

adiutor62

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$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{216})^n>0,5 \end{eqnarray*}$

20.04.2014, 19:26

Bonheur

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Hey.

Das stimmt nicht ganz.

Zitat:

Original von adiutor62
$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{216})^n>0,5 \end{eqnarray*}$

Ich würde eher:

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{216}\right)^n=0,5 \end{eqnarray*}$

Weil in der Aufgabe steht ja nicht, dass die Wahrscheinlichkeit höchstens/mindestens 50 % betragen muss.

Ansonsten ist der Ansatz Super. smile

Stelle die Gleichung nach n um.

20.04.2014, 19:48

adiutor62

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Danke Bonheur. Hast gut aufgepasst. Ich hab beim Lesen nicht genau hingeschaut. Gott

20.04.2014, 19:52

Bonheur

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Gern geschehen. Wink

23.04.2014, 01:49

Nubler

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wo steht, dass die hintereinander auftreten müssen?

23.04.2014, 12:22

Bonheur

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Zitat:

Original von Bonheur
Angenommen du bekommst dreimal hintereinander eine sechs.

Die Gegenwahrscheinlichkeit hat Nesty779 richtig erfasst: Gegenwahrscheinlichkeit:
Keinmal, einmal und zweimal eine 6 würfeln

Es ist klar, dass wir die Aufgabe relativ vereinfacht haben und ausgerechnet haben, für genau dreimal hintereinander sechs und dass es nicht immer so gehen wird, ist uns auch klar. Augenzwinkern

23.04.2014, 13:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bonheur
Ich würde eher:

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{216}\right)^n=0,5 \end{eqnarray*}$

Na genau genommen ist das kleinste ganzzahlige $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{216}\right)^n \leq 0{,}5 \end{eqnarray*}$

gesucht - es gibt nämlich gar kein ganzzahliges $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit echter Gleichheit $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{216}\right)^n = 0{,}5 \end{eqnarray*}$ . In dem Sinne kann man durchaus die Formulierung der Fragestellung kritisieren. Augenzwinkern

23.04.2014, 16:03

Nubler

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du beginnst zu würfeln, bis die dritte 3 erscheint. die anzahl der dafür benötigten würfe ist k.

in den k-1 vorangegangenen würfen soll die 6 genau 2-mal vorkommen.

die wahrscheinlichkeit dafür ist:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}k-1\\2\end{pmatrix}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6} \right)^{k-3} \end{eqnarray*}$

da der letzte wurf dann die dritte 6 sein soll, muss das ganze noch mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ multipliziert werden.

nun willst du wissen, wie oft du würfeln musst, dass mit einer wahrscheinlichkeit von p>50% die dritte drei erscheint.

dazu addierst du nun die wahrscheinlichkeiten, dass die dritte drei nach den dritten wurf erscheint, den 4ten, den 5ten und so weiter und schaust, wann deine summe >0,5 wird.

mathematisch lässt sich das dann so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=3}^n\frac{1}{6}\begin{pmatrix}k-1\\2 \end{pmatrix}\left( \frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^{k-3}\geq\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\sum\limits_{k=3}^n(k-1)(k-2)\left(\frac{5}{6}\right)^{k-3}\geq216 \end{eqnarray*}$

deine gesuchte lösung ist dann die kleinste natürliche zahl n, die die ungleichung erfüllt

sowas rechet man normalerweise mit dem computer aus.

betrachtet man die linke seite der zweiten ungleichung, dann ist der wert für n=15 ungefähr 202, der für n=16 ungefähr 222.

23.04.2014, 16:09

HAL 9000

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Vielleicht sollten wir mal klären, um welches Spiel es hier geht:

Zitat:

Jeder Wurf findet mit drei Würfeln statt. Gesucht ist nun die Minimalzahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ an Würfen, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens ein Wurf mit dreimal 6 dabei war.

Das ist im Eröffnungsbeitrag wirklich lausig formuliert - ich hab's auch nur aus dem Plausibilitätsgrund, dass die Lösung 150 sein soll, rausgekriegt...

Nubler hingegen betrachtet das Problem

Zitat:

Es werden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Würfe mit einem einzelnen Würfel durchgeführt. Wie groß muss man $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wählen, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens drei Sechsen dabei sind?

Der Satz im Eröffungsbeitrag liegt tatsächlich inhaltlich näher an dieser Variante (zu der übrigens das Stichwort negative Binomialverteilung), da stimme ich voll zu.

23.04.2014, 16:50

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Das ist im Eröffnungsbeitrag wirklich lausig formuliert - ich hab's auch nur aus dem Plausibilitätsgrund, dass die Lösung 150 sein soll, rausgekriegt...

Wo steht denn dieses Zitat? Ich habe es nirgendwo gefunden. Oder sollte das besser "korrigierte Aufgabenstellung" statt "Zitat" heißen?

23.04.2014, 21:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Wo steht denn dieses Zitat?

Zitat ist es nur, wenn es mit "Original von..." eingeleitet wird. Ansonsten ist das für mich nur eine hervorgehobene Textstelle - leider kann ich den Text "Zitat:" in der blauen Kopfzeile nicht entfernen. Augenzwinkern

Praktiziere ich schon immer so hier im Board - sehr verwunderlich, dass es dir erst jetzt auffällt.

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