Kurvendiskussion und kubische Polynomfunktion

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Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion und kubische Polynomfunktion
Meine Frage:
Hi Leute, ich hätte da eine schöne Aufgabe:

Gegeben ist der Graf einer kubischen Polynomfunktion. Zeichnen Sie in den gegebenen Grafen Extrempunkte, Wendepunkte und Wendetangente. Argumentieren Sie, welche der gegebenen Gleichungen ist die Gleichung der Wendetangente.

Darunter ist eben der gezeichnete Graph und verschiedene Antwortmöglichkeiten bezüglich Wendetangente.


Meine Frage:
Wie zeichne ich richtig ein? Die Wendepunkte muss ich doch berechnen. Dafür ist aber eine Funktionsgleichung notwendig.

Meine Ideen:
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pro7
Darunter ist eben der gezeichnete Graph und verschiedene Antwortmöglichkeiten bezüglich Wendetangente.


Wie wärs wenn du die Zeichnung mal postest ?
 
 
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Graph:
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pro7
Die Wendepunkte muss ich doch berechnen.


Wie viele Wendepunkte gibt es denn ?

Du kannst ganz klar sehen, wo der Wendepunkt liegt.
Wo liegen denn die Extrema ?



PS:
Könntest du auch die Antwortmöglichkeiten posten ? Freude
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bonheur
Wie viele Wendepunkte gibt es denn ?


Zwei.


Zitat:

Du kannst ganz klar sehen, wo der Wendepunkt liegt.
Wo liegen denn die Extrema ?


Extrema (jeweils 1 Hoch- und Tiefpunkt) sind leicht. Der Wendepunkt ist aber so wie ich das verstanden habe EIN spezieller Punkt.

Zitat:

PS:
Könntest du auch die Antwortmöglichkeiten posten ? Freude


Sind die denn wichtig?
Hier sind sie:

A) y = x/2
B) y = -x/2
C) y = 2x
D) y = -2x
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pro7
Zitat:
Original von Bonheur
Wie viele Wendepunkte gibt es denn ?

Zwei.


Ich sehe keine zwei Wendepunkte. Anders gefragt: Wo sind denn deine zwei Wendepunkte ?

Zitat:
Original von Pro7[/i]
Sind die denn wichtig?
Hier sind sie:

A) y = x/2
B) y = -x/2
C) y = 2x
D) y = -2x


Ja, du musst doch ankreuzen, welcher davon der richtige ist.
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bonheur
Ich sehe keine zwei Wendepunkte. Anders gefragt: Wo sind denn deine zwei Wendepunkte ?


Zwischen Hoch- und Tiefpunkt und der Zweite nach dem Tiefpunkt.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Wendepunkt ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert.



Schon jetzt sollte klar sein, dass der Graph nicht nochmal sein Krümmungsverhalten ändert.

Verstehst du ?
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch einem Extrema ändert er doch sein Krümmungsverhalten, indem der Graph sinkt/steigt?
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich wohl nicht klar ausgedrückt. Ein Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt.
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt verstehe ich. Du hast natürlich recht.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Nun denn:

Wo liegt der Wendepunkt. smile

Kannst du vielleicht die genauen Koordinaten nennen ?

Extrema:
Wendepunkt:

Wendetangente:
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

Extrema: H(2 | 2,7) T(2 | 2,6)
Wendepunkt: (0 | 0)? Geraten.
Wendetangente: Muss eine negative Steigung sein. Steigung müsste -2x sein.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pro7
Extrema: H(2 | 2,7) T(2 | 2,6)
Wendepunkt: (0 | 0)? Geraten.
Wendetangente: Muss eine negative Steigung sein. Steigung müsste -2x sein.


1. Beide Punkte sind falsch. Gucke genau, wo der Hochpunkt und der Tiefpunkt liegt.

2. Geraten ist nicht schön. Warum hast du denn W(0|0) gewählt?

3. w(x)=-2x ist richtig, aber man könnte auch jetzt sagen, y = -x/2 die Wendetangente ist, weil die Steigung auch negativ ist.
Hättest du da vielleicht ein Gegenargument ?
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Minus vergessen:

H(2 | 2,7) T(2 | 2,6)


Zu 2: Ich habe geraten, weil ich ja noch immer nicht weiß, wie ich das ohne rechnen herausfinden soll. (0 | 0) schaut gerade aus und ich würde da die Tangente gut sehen.

Zu 3: Bei -x/2 wäre die Steigung steiler.
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

Und nochmal vergessen: H(-2 | 2,7)

Das X müsste aufjedenfall stimmen. Sdas Y ist ja nicht genau eingezeichnet.
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Nur für den Fall, dass du übungshalber nachrechnen willst:
Unter der Vorausetzung, dass der K-Ursprung Symmetriezentrum ist (ungerade Funktion), dort der Anstieg -2 ist und der Annahme, dass der Tiefpunkt bei 2 liegt, kannst du die Funktinosgleichung eindeutig bestimmen.
Und wieder weg... smile
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

Woran erkenne ich Y bei den Extrempunkten?
Bonheur deklarierte meine Angaben als falsch
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pro7
Ein Minus vergessen:

H(2 | 2,7) T(2 | 2,6)


Diese Angabe habe ich verneint.

Zitat:
Original von Pro7
Und nochmal vergessen: H(-2 | 2,7)


Der Punkt ist korrekt, wobei der y-Wert nicht genau ist. Du könntest auch schreiben:



Und wie lautet der Punkt für den Tiefpunkt ?

zu 2)

[attach]33971[/attach]

zu 3)

Überdenke nochmal deine Behauptung: m=-1/2 und m=-2.

[attach]33972[/attach]



Übrigens:

Du kannst auch den exakten Funktionswert an der Stelle x bestimmen, dafür brauchst du die Funktionsgleichung. Siehe dazu den Beitrag von thk an.
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1):
T(2 | f(2))


Zu 2):

Die Aufgabe habe ich so verstanden, dass ich ganz konkret Koordinaten des Wendepunkts angeben muss. Ist das ohne Funktion möglich anzugeben?


Zu 3):
Dann muss es heißen: -x/2 ist nicht steil genug.


Bis auf die genaue Angabe des Wendepunkts, habe ich alles verstanden.
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Funktion:

Würde die Funktion über die Nullstellen herausfinden wollen, aber dafür müsste ich die genauen Nullstellen bestimmen können. Eine ist Null, aber die andern beiden sind irgendwo zwischen +/- 3,4 und 3,6.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pro7
Zu 2):

Die Aufgabe habe ich so verstanden, dass ich ganz konkret Koordinaten des Wendepunkts angeben muss. Ist das ohne Funktion möglich anzugeben?


Die Abbildung sollte darauf hindeuten, dass man den Wendepunkt identifizieren kann. Ich wiederhole nochmal. Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Ein Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt.
Und in deinem Fall liegt der Wendepunkt zwischen dem Hochpunkt und Tiefpunkt und du hast immer ein Wendepunkt liegen, wenn es zu einem Wechsel von Hochpunkt zu Tiefpunkt oder umgekehrt kommt.

Zitat:
Original von Pro7
Zur Funktion:

Würde die Funktion über die Nullstellen herausfinden wollen, aber dafür müsste ich die genauen Nullstellen bestimmen können. Eine ist Null, aber die andern beiden sind irgendwo zwischen +/- 3,4 und 3,6.


Die Koordinaten der Nullstellen kannst du nicht eindeutig festlegen. Du hast aber zwei Extremstellen, einen Wendepunkt und weißt, dass die Steigung am Wendepunkt -2 beträgt.
Mit diesen Informationen solltest du in der Lage sein, die Funktion zu rekonstruieren.
Du kannst dir natürlich das Leben vereinfachen, wenn du dir den Beitrag von thk richtig durchliest. Aufgrund der Symmetrie musst du da nicht viel machen, um die Funktion zu rekonstruieren.
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 2):
Das heißt, ich kann irgendeinen Punkt auf der Geraden zwischen den Kurven auswählen...?

Zu 3):
thk's Beitrag verstehe ich nicht. Ich weiß nur, wie man die kubische Funktion über Nullstellen errechnet.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2)

Nein.

Ich wiederhole.

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert.


Stell dir vor, du fährt mit einem Motorrad den Graph entlang. Zuerst fährst du einen steilen Berg hoch, als du die Spitze erreicht hast, fährst du den Berg auf der anderen Seite wieder runter, als plötzlich zwei Wege vor dir waren. Der eine Weg führt weiter nach unten und der andere Weg führt ins Schlaraffenland, wenn du nun weiter nach unten fährst, hättest du eine Parabel, aber wenn du nun den anderen Weg nimmst, kommt es zu einem Krümmungsverhalten.
Das ist der Wendepunkt.


zu 3)

Weißt du, was Symmetrie ist ?
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

2)

In eigenen Worten: Der Graph ändert sein Verhalten, beginnt wieder zu steigen. Kann das nun in der Zeichnung abgelesen werden? Mit angelegtem Geodreieck würd ich Wendepunkt bei -1 sagen. Bei so kleinen Kurven aber schwer zu sagen.


3)

Symmetrie = Gleichmäßigkeit; ähnlich einer Sinus-Welle, die gleichmäßig verläuft; Gleichmäßigkeit des Wendepunktes
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2)

Nein.

Der Wendepunkt liegt bei W(0|0).


zu 3)

Ist der Graph symmetrisch ? Wenn ja, Punktsymmetrisch oder Achsensymmetrisch ?
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

2) OK...

3) Punktsymmetrisch
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt.



Bei Punktsymmetrie fallen die Summanden mit geraden Exponenten weg.

Jetzt musst du a und b bestimmen, da es zwei Unbekannte sind, brauchst du zwei Gleichungen.
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

f(-2)=-8a-2c
f(2)=2a+2c
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nicht.

Du weißt doch nicht, wie groß der y-Wert ist.
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

An y-Werten gibt's nur 0.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du meinst, dass die Steigung an der Stelle 2, null beträgt, dann ist es richtig.

Dann hast du aber:



und nicht:

Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

f'(x)=3ax^2+c
f'(-2)=0 -> -6a^2+c=0
f'(2)=0 -> 6a^2+c=0
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pro7
f'(-2)=0 -> -6a^2+c=0
f'(2)=0 -> 6a^2+c=0


Beides stimmt nicht.



Außerdem würde dir das nichts bringen, wenn du zweimal die selbe Gleichung hast !
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

Soll das Aufstellen der Gleichung Teil der Aufgabe sein, oder dient es der "Vereinfachung"?
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn sich bei der Wendetangente das Vorzeichen ändert, erhalte ich den Wendepunkt?
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Es gehört nicht zur Aufgabe, aber du kannst trotzdem übungshalber, versuchen den Graphen zu rekonstruieren.

An der Stelle null, beträgt die Steigung -2(Wendepunkt).


Ich denke, dass du selber im Stande bist, ein Gleichungssystem zu lösen.



Zitat:
Original von Pro7
Wenn sich bei der Wendetangente das Vorzeichen ändert, erhalte ich den Wendepunkt?


Könntest du deine Frage konkretisieren ?
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ob ich an der Wendetangente den Wendepunkt wirklich erkenne, oder ob das nur bei diesem Beispiel der Fall ist.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Stell dir vor, dass du die Wendetangente nicht gegeben hättest, dann müsstest du doch nachsehen, wo der Wendepunkt liegt, um die Wendetangente bestimmen zu können.
Du hast anscheinend das Prinzip leider noch nicht verstanden.


Eselsbrücke:

Wenn du einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt hast, dann liegt zwischen den Punkten ein Wendepunkt und der Wendepunkt befindet sich immer mittig.
Pro7 Auf diesen Beitrag antworten »

Immer mittig klingt schonmal gut, das ist ne Ansage. Frage beantwortet.

Das mit der Wendetangente löse ich einfach, indem ich die Antwortmöglichkeiten mit dem Rechner darstelle.
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