Orthonormalisierung und Unterräume

20.04.2014, 19:04

DeltaX

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Orthonormalisierung und Unterräume

Hallo!

Ich sitze zur Zeit an folgender Aufgabe:

Wir haben den Vektorraum:

$\begin{eqnarray*} V = \{ a +bx+cx^2+dx^3; a,b,c,d \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

und außerdem das Skalarprodukt:

$\begin{eqnarray*} \langle p(x),q(x) \rangle =\int_{-1}^1 \! p(x)q(x) \, dx \end{eqnarray*}$

In der ersten Aufgabe sollten wir die Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray*} U= [1,x,x^2] \end{eqnarray*}$ mithilfe des Schmidt'schen Verfahrens bestimmen. Das habe ich auch gemacht, ich bekomme für die ONB folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} O=\{\frac 1{\sqrt 2}, x \cdot \sqrt {\frac 32}, \sqrt {\frac{45}{8}} \cdot (x^2 - \frac 13)\} \end{eqnarray*}$

Bis dahin bin ich mir relativ sicher keine allzugroßen Fehler gemacht zu haben, jetzt kommt aber die Aufgabe an der ich knobel:

b) Sei $\begin{eqnarray*} r(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie Polynome $\begin{eqnarray*} r_U(x) \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_{U^\perp}(x) \in U^\perp \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} r(x)=r_U(x) + r_{U^\perp}(x) \end{eqnarray*}$

Wenn ich es richtig verstehe soll nun $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ als Summe zweier Polynome entstehen, wobei ein Polynom aus dem Unterraum U stammt und ein Polynom aus der Orthogonalprojektion des Unterraums U.

Mein Ansatz: Zunächst dachte ich, dass ich eine triviale Lösung nehme und sage $\begin{eqnarray*} r_U(x) = x^3 \Rightarrow r_{U^\perp}(x)=0 \end{eqnarray*}$

Ich denke aber nicht das Dies gefordert ist.

Habt ihr Tipps für mich? smile

smile

(Nebenfrage: Wir haben das Thema noch nicht wirklich viel behandelt, daher meine Frage; Was genau bezeichnet $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ ? Ist damit die ONB gemeint?)

Dankeschön schonmal!

20.04.2014, 19:11

HBX8X

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Muss genau dasselbe lösen gerade.^^ Genau zwei Threads unter dir. Hab aber noch keinen Ansatz.

20.04.2014, 19:15

DeltaX

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Dann hab ich das Falsche bei der SuFu eingegeben Big Laugh

Big Laugh

D

Edit:// Vllt sollten wir dann Die Threads zusammenlegen.

Ist ja inhaltlich das gleiche, nur bei dem 3. Vektor der ONB haben wir was anderes heraus.

Edit 2:// Okay lesen will gelernt sein, wir haben das selbe heraus smile

smile

20.04.2014, 20:18

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$\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ ist der Orthogonalraum von U, sprich der Unterraum aller Vektoren aus V, die auf U senkrecht stehen.
Also hier alle $\begin{eqnarray*} q\in V \end{eqnarray*}$ für die $\begin{eqnarray*} \langle p(x),q(x) \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} p\in U \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} r_U(x) \end{eqnarray*}$ ist die Projektion von r auf U. Wie berechnet man eine Projektion, wenn man eine Orthonormalbasis von U hat?

20.04.2014, 20:47

DeltaX

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Hallo, danke für die Antwort.

Das mit dem verschwindenden Skalarprodukt kenn ich noch aus der Schule, aber zu der Projektion haben wir nur folgendes aufgeschrieben, ich weiß nur nicht, ob ich das so anwenden kann:

$\begin{eqnarray*} \vec x: \end{eqnarray*}$ Vektor aus dem Vektorraum V
$\begin{eqnarray*} \vec z: \end{eqnarray*}$ Vektor aus dem Vektorraum U, der orth. auf V steht.

Für die Projektion von x auf den Vektor z gelte:

$\begin{eqnarray*} \langle \vec x , \vec z \rangle \cdot \vec z \end{eqnarray*}$

"Passt" das hier?

Danke!

20.04.2014, 21:05

HBX8X

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Ich habe fast dasselbe wie du hier stehen, bloß das ganze als Summe dargestellt! Ich muss aber zugeben, ich habe hier absolut keine Ahnung. Das mit der Bedingung der Orthogonalität ist mir schon klar, weiss aber nicht wie ich das anwenden muss. Dasselbe mit der Projektion. Kenne das nur im Zusammenhang aus der Schulzeit, aber nicht im Zusammenhang mit Basen.

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20.04.2014, 21:08

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so ähnlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

um das ganze mal systematisch anzugehen: Du hast eine ONB von U, die Basisvektoren nenne ich b_1, b_2, b_3.
r_U liegt in U, also kannst du folgendes ansetzen $\begin{eqnarray*} r_U=\alpha_1 b_1+ \alpha_2 b_2+\alpha_3 b_3 \end{eqnarray*}$ mit unbekannten Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt berechne das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \langle r_U(x),b_1(x) \rangle \end{eqnarray*}$ .
Edit: Letztlich wirst du damit sehen, woher die Summe in dem Bild von HBX8X kommt

20.04.2014, 21:37

DeltaX

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Hallo,

wenn ich das Skalarprodukt von oben nehme, gilt es ja folgendes aufzulösen:

$\begin{eqnarray*} \int _{-1}^1 r_U(x)\cdot b_1(x) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int _{-1}^1 (\alpha _1 b_1 + \alpha _2 b_2 + \alpha _3 b_3)b_1 dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int _{-1}^1 \alpha _1 b_1^2 + \alpha _2 b_2b_1 + \alpha _3 b_3b_1 dx \end{eqnarray*}$

Ist das soweit dann erstmal ok?

Edit:// Ich würde als nächstes einfach aus der ONB "U" von oben die verschiedenen $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ einsetzen und die $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ erstmal als konstanten ansehen.

20.04.2014, 21:50

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Du brauchst zunächst nur Eigenschaften des Skalarproduktes, nicht seine genaue Definition
$\begin{eqnarray*} \langle r_U(x),b_1(x) \rangle =\langle \alpha_1 b_1(x)+ \alpha_2 b_2(x)+\alpha_3 b_3(x) ,b_1(x) \rangle \end{eqnarray*}$
Jetzt die Linearität des Skalarproduktes verwenden und natürlich, dass die b_i eine ONB sind.

20.04.2014, 21:58

DeltaX

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Ahh, ein klick Moment, hoffentlich ist der auch richtig:

die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ sind alle senkrecht aufeinander, also ist deren Skalarprodukt null, außer bei dem Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \langle b_1 , b_1 \rangle \end{eqnarray*}$

Aus dem Skalarprodukts-Term von dir, wo du einfach $\begin{eqnarray*} r_U(x) \end{eqnarray*}$ eingesetzt hast, kann man 3 Skalarprodukte daraus machen: Sprich:

$\begin{eqnarray*} \langle \cdot , \cdot \rangle = \alpha_1 \langle b_1 , b_1 \rangle + \alpha_2 \langle b_2, b_1 \rangle + \alpha_3 \langle b_3,b_1 \rangle \end{eqnarray*}$

Da bei orthogonalen Vektoren wie erwähnt das Skalarprodukt verschwindet bleibt nur noch:
$\begin{eqnarray*} \langle \cdot , \cdot \rangle = \alpha_1 \langle b_1 , b_1 \rangle \end{eqnarray*}$

Das würde ich dann zum Quadrat der Länge schreiben:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \alpha_1 \langle b_1 , b_1 \rangle = \alpha_1 \cdot ||b_1||^2 \end{eqnarray*}$

Soweit ok?

Edit:// Jetzt würde ich dann das Skalarprodukt der Aufgabe verwenden...

20.04.2014, 22:24

HBX8X

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Ich muss jetzt auch einfach mal fragen, da ich leider gar nicht mitkomm. Die Orthogonalprojektion x_orth element U (wobei hier die von uns bereits berechnete Orthonomalbasis {b1,b2,b3} betrachtet wird) von r(x):=x^3 kann ich wie folgt berechnen (Vorsicht, könnte etwas ,,schräg" aussehen:

$\begin{eqnarray*} x_{orth}=<r(x), b_{1}>*b_{1}+<r(x), b_{2}>*b_{2}+<r(x), b_{3}>*b_{3} \end{eqnarray*}$

Dann die ganzen Integrale bzgl. dieser Skalarprodukte berechnen, so wie es gegeben war und alles zusammenfassen. Dann habe ich die Orthogonalprojektion $\begin{eqnarray*} x_{orth} \end{eqnarray*}$ berechnet.

So, gibt es einen Tipp was ich jetzt machen muss. Und wie wird in der Aufgabe die Projektion bezeichnet. Etwa mit $\begin{eqnarray*} r_{U\perp}(x) \end{eqnarray*}$ zumindest ist das meine Vermutung?

Oder ist meine Rechnung sogar vollkommen falsch. verwirrt

verwirrt

Edit: Orthogonalprojektion hatte einen Fehler.

20.04.2014, 22:28

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@DeltaX: Genau Freude

Freude

und weil es eine Ortho_normal_basis ist, welchen Wert hat dann $\begin{eqnarray*} \||b_1||^2 \end{eqnarray*}$ ?
Also ist $\begin{eqnarray*} \langle r_U(x),b_1(x) \rangle =\alpha_1 \end{eqnarray*}$
Bevor du das Skalarprodukt der Aufgabe benutzt, mach das ganze noch für b_2 und b_3, und setze die Werte von $\begin{eqnarray*} \alpha_1, \alpha_2,\alpha_3 \end{eqnarray*}$ in meinen Ansatz für r_U ein und vergleiche das mit der Summe in dem Bild von HBX8X

Mit dem Skalarprodukt der Aufgabe kannst du dann die konkreten Werte von $\begin{eqnarray*} \alpha_1, \alpha_2,\alpha_3 \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

20.04.2014, 22:36

DeltaX

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Jop, habe garnicht mehr bedacht, dass die Vektoren ja normiert sind.

Analog dazu sollte dann:

$\begin{eqnarray*} \langle r_U(x) , b_2(x) \rangle = \alpha_ 2 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \langle r_U(x) , b_3(x) \rangle = \alpha_ 3 \end{eqnarray*}$ sein.

Demnach ist $\begin{eqnarray*} r_U(x)= \langle r_U(x), b_1(x) \rangle b_1(x) + \langle r_U(x), b_2(x) \rangle b_2(x) + \langle r_U(x), b_3(x) \rangle b_3(x) \end{eqnarray*}$

(Das entspricht der oben genannten Summe smile

smile

)

Jetzt ist es aber doch nötig für die $\begin{eqnarray*} \langle r_U(x) , b_i \rangle \end{eqnarray*}$ jeweils das Skalarprodukt auszurechnen, oder?
Nur da steckt ja dann wieder das $\begin{eqnarray*} r_U(x) \end{eqnarray*}$ im Skalarprodukt mit den unbekannten $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ drinnen.

20.04.2014, 22:47

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@HBX8X: Dein x_orth ist r_U

@DeltaX: Wenn du die konkreten Werte ausrechnen willst, musst du natürlich - wie HBX8X geschrieben hat -
$\begin{eqnarray*} \langle r(x),b_1(x) \rangle =\alpha_1 \end{eqnarray*}$ usw. berechnen, weil du r_U ja noch nicht kennst. Das ergibt sich folgendermaßen:

Weil $\begin{eqnarray*} r_{U\perp}\in U^\perp \end{eqnarray*}$ ist, gilt

$\begin{eqnarray*} \langle r_{U\perp}(x),b_i(x) \rangle=0 \end{eqnarray*}$ für i=1,2,3 (Definition des Orthogonalraumes)

und damit
$\begin{eqnarray*} \alpha_1 =\langle r_U(x),b_1(x) \rangle = \langle r_U(x),b_1(x) \rangle + \langle r_{U\perp}(x),b_1(x) \rangle <br /> \langle r_U(x)+r_{U\perp}(x),b_1(x) \rangle =<br /> \langle r(x),b_1(x) \rangle <br /> \end{eqnarray*}$

20.04.2014, 22:53

HBX8X

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Wieso ist das ganz genau r_U und nicht r_U_Senkrecht_zueinander. Ich nutze doch schließlich die Vektoren der von Teilaufgabe a berechneten Orthonomalbasis, die schließlich zueinander orthogonal sind.

20.04.2014, 22:57

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$\begin{eqnarray*} r_U\in U, r_{U\perp}\in U^\perp \end{eqnarray*}$

20.04.2014, 22:57

DeltaX

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Die letzte Gleichung gefällt mir smile

smile

Mit den Skalarprodukten $\begin{eqnarray*} \langle r(x), b_i \rangle \end{eqnarray*}$ erhalte ich ja die $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ ,

nur der Schritt, der jetzt noch fehlt ist ja der, aus dem bekannten $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ und den $\begin{eqnarray*} alpha_i \end{eqnarray*}$ sowohl $\begin{eqnarray*} r_U(x) \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} r_{U^\perp}(x) \end{eqnarray*}$ bestimmen. Hierfür fehlt mir aber leider der Ansatz, da ich ja über die $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ zwar in die Gleichung für das $\begin{eqnarray*} r_U(x) \end{eqnarray*}$ einsetzen kann und so eben das $\begin{eqnarray*} r_U(x) \end{eqnarray*}$ erhalte, aber ist es dann wirklich nur noch die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} r_{U^\perp}(x) \end{eqnarray*}$ aufzulösen, um das Ergebnis zu erzielen?

Dankeschön

20.04.2014, 22:59

URL

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Yepp

Freude

20.04.2014, 23:04

DeltaX

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Ganz kurz;

damit ich keinen rechenfehler mache:

$\begin{eqnarray*} \alpha_1 = 0 \end{eqnarray*}$ , da das Integral 0 ergibt.

Soweit richtig, dann mach ich gleich weiter smile

smile

?

20.04.2014, 23:13

DeltaX

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Ist ja blöd wenn man das selber nachrechnen muss, daher liefere ich mal das alpha2:
(Einfach sagen wo, wenn irgendwo ein Fehler ist smile

smile

)

$\begin{eqnarray*} \alpha_2 = \langle x^3 , \sqrt{\frac 32}x \rangle \end{eqnarray*}$

als Integral:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{\frac 32} \cdot \int _{-1}^1 x^4 dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{\frac 32} \left[\frac 15 x^5 \right]_{1}^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{\frac 32} \cdot \frac 25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {\sqrt 6}{5} \end{eqnarray*}$

Soweit gut?

Edit:// Weil Zeit war: alpha 3 müsste durch das Integral $\begin{eqnarray*} \sqrt {\frac {45}{8}} \cdot \int _{-1}^1 x^5 - \frac 13 x^2 dx \end{eqnarray*}$ wieder 0 sein.

20.04.2014, 23:19

HBX8X

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Bei mir funktioniert es leider noch nicht so ganz. Deshalb muss ich nachfragen. Bei Teilaufgabe a haben wir ja zu U:=[1,x,x^2] die Orthonomalbasis {b1,b2,b3} berechnet.

Nun geht man bei Teilaufgabe b wie folgt ran (So habe ich es verstanden!):

$\begin{eqnarray*} r_{U}(x)=<r(x), b_{1}>b_{1}+<r(x), b_{2}>b_{2}+<r(x), b_{3}>b_{3} \end{eqnarray*}$

Danach folgt

$\begin{eqnarray*} r_{U\perp }(x)=r(x)- r_{U}(x) \end{eqnarray*}$

also subtrahieren mit das oben berechnete. Und dann sollte die Gleichugn erfüllt sein. Ist das richtig? hmm

20.04.2014, 23:27

DeltaX

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Also den einzigen Unterschied den ich zu meinen Rechnungen gesehen habe ist der, dass Du bei deinen Skalarprodukten $\begin{eqnarray*} r(x) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} r_U(x) \end{eqnarray*}$ schreibst. Das ist vermutlich der einzige Fehler smile

smile

Sonst ists ja genau das, was uns URL gesagt hat, danke nochmal an dieser Stell! Freude

Freude

Ich werd das mit der Subtraktion allerdings erst machen, wenn ich das ok für meine Alphas bekomme, da es aber schon spät ist, ist das vermutlich morgen der Fall Wink

Wink

20.04.2014, 23:36

HBX8X

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Ich möchte mich auch nochmals bei euch bedanken, vor allem URL. Freude

Freude

@DeltaX. Bist du dir sicher das es $\begin{eqnarray*} r_U(x) \end{eqnarray*}$ sein muss anstatt r(x) ? Denn ein paar Post zuvor, meinte URL es sei richtig, dass man so das r_U(x) bestimmt.

20.04.2014, 23:38

DeltaX

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Zitat:

Original von DeltaX
Jop, habe garnicht mehr bedacht, dass die Vektoren ja normiert sind.

Analog dazu sollte dann:

$\begin{eqnarray*} \langle r_U(x) , b_2(x) \rangle = \alpha_ 2 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \langle r_U(x) , b_3(x) \rangle = \alpha_ 3 \end{eqnarray*}$ sein.

Demnach ist $\begin{eqnarray*} r_U(x)= \langle r_U(x), b_1(x) \rangle b_1(x) + \langle r_U(x), b_2(x) \rangle b_2(x) + \langle r_U(x), b_3(x) \rangle b_3(x) \end{eqnarray*}$

(Das entspricht der oben genannten Summe smile

smile

)

....

Das meinte ich smile

smile

Da hab ich ja nur das Skalarprodukt für die $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ eingesetzt smile

smile

20.04.2014, 23:43

URL

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@DeltaX: bei den Integralen für alpha_1 und alpha_3 kannst du einfach argumentieren, dass es die Integranden ungerade Funktionen sind und die Integrale deswegen verschwinden. alpha_2 ist auch richtig.

Ist schon richtig, dass in den Skalarprodukten immer r steht, also z.B. $\begin{eqnarray*} <r(x), b_{1}> \end{eqnarray*}$ .
Das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} <r_U(x), b_{1}> \end{eqnarray*}$ könntest du ja nicht ausrechnen, weil r_U noch nicht bekannt ist. Das hatten wir vorhin, da kam $\begin{eqnarray*} r_{U^\perp} \end{eqnarray*}$ ins Spiel und heraus purzelte die Gleichung, die DeltaX gefiel Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.04.2014, 23:50

DeltaX

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Alles klar, sorry smile

smile

also, mit $\begin{eqnarray*} \alpha_2 = \frac {\sqrt 6}{5} \end{eqnarray*}$
ist :

$\begin{eqnarray*} r_U(x) = 0 + \frac {\sqrt 6}{5} \sqrt {\frac 32} \cdot x + 0 = \frac 35 \cdot x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow r(x) - r_U(x) = r_{U^\perp}(x) = x^3 - \frac 35 \cdot x \end{eqnarray*}$

Richtig?

21.04.2014, 00:01

URL

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sieht gut aus

21.04.2014, 00:04

DeltaX

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Das gefällt mir; dann hätte ich nur noch eine Frage:

Die Veranschaulichung dieser Polynome ist ja nicht mehr so leicht Darstellbar,
eine Vorstellung eines 2-D Raumes mit einer Geraden als Menge U und einer dazu senkrechten Geraden als $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ ist aber schonmal ein guter Versuch oder?

Danke aber nochmals für die Hilfe, ohne Dich wär ich nicht weit gekommen smile

smile

Freude

Wink

21.04.2014, 00:11

URL

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3D geht auch noch: Zweidim U, sprich eine Ebene, mit einer dazu senkrechten Geraden.

Nix zu danken, gern geschehen Wink

Wink

21.04.2014, 00:13

HBX8X

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URL kannst du mir noch einmal bitte genau weiss machen wieso man so r_U(x) und nicht r_U_Orthogonal(x) bestimmt. Mich verwirrt das da wir ja die Orthonomalbasis {b1.b2,b3} verwenden. Ich überlege die ganze Zeit, aber mir wird es einfach nicht klar. Ich hätte hier in einer Klausur tatsächlich einen Fehler begangen,

verwirrt

21.04.2014, 00:22

URL

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Hm, ich sehe jetzt nicht genau, wo es bei dir noch hängt verwirrt

verwirrt

Aufgabe war es, $\begin{eqnarray*} r_U(x) \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_{U^\perp}(x) \in U^\perp \end{eqnarray*}$ zu finden.
Wir haben eine ONB {b1,b2,b3} von U und können deswegen r_U als Linearkombination dieser Basisvektoren ansetzen (weil wir ja schon wissen, dass r_U in U sein soll).
r_U steht nicht senkrecht auf U sondern liegt vielmehr in U

21.04.2014, 00:26

HBX8X

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Danke, jetzt hab ich es endlich! Vielen dank URL du hast mir sehr geholfen! smile

smile

Freude

21.04.2014, 00:28

URL

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und nochmal: Gern geschehen Wink

Wink

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